Gruppenhomomorphismus < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Di 08.07.2008 | | Autor: | CH22 |
| Aufgabe | Es gibt einen Gruppenhomomorphismus SU(2) [mm] \to [/mm] O(3), der einen Isomorphismus SU(2)/{E,-E} [mm] \to [/mm] SO(3) induziert. In dieser Aufgabe soll dieser Gruppenhomomorphismus konstruiert werden.
a.) Seien H= [mm] \{\pmat{ a & -\overline{b} \\ b & \overline{a} } | a,b \in \IC \}\subset [/mm] M(2, [mm] \IC) [/mm] ,
I:= [mm] \pmat{ -i & 0 \\ 0 & i } [/mm] , [mm] J:=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }, [/mm] K:= [mm] \pmat{ 0 & i \\ i & 0 }.
[/mm]
Sei U:= [mm] \IR [/mm] I+ [mm] \IR [/mm] J+ [mm] \IR [/mm] K [mm] \subset [/mm] H der Untervektorraum der rein imaginären Quaternionen. Zeigen sie : Für A [mm] \in [/mm] H gilt:
[mm] A\in [/mm] U [mm] \gdw [/mm] A*=-A |
Hi,
ich komme bei dieser Aufgabe leider gar nicht weiter. Ich müsste doch theoretisch zeigen dass das Inverse von A dass ja allgemein von der Form [mm] \pmat{ a & -\overline{b} \\ b & \overline{a}} [/mm] ist (oder stimmt das schon nicht) gleich -A ist und dass man dann -A so wie den Unterraum zerlegen kann oder etwa nicht?
Es wäre echt nett wenn mir jemand helfen könnte, ich freue mich über jede Antwort.
Liebe Grüße
Chris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Di 08.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Es gibt einen Gruppenhomomorphismus SU(2) [mm]\to[/mm] O(3), der
> einen Isomorphismus SU(2)/{E,-E} [mm]\to[/mm] SO(3) induziert. In
> dieser Aufgabe soll dieser Gruppenhomomorphismus
> konstruiert werden.
>
> a.) Seien H= [mm]\{\pmat{ a & -\overline{b} \\ b & \overline{a} } | a,b \in \IC \}\subset[/mm]
> M(2, [mm]\IC)[/mm] ,
>
> I:= [mm]\pmat{ -i & 0 \\ 0 & i }[/mm] , [mm]J:=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 },[/mm]
> K:= [mm]\pmat{ 0 & i \\ i & 0 }.[/mm]
> Sei U:= [mm]\IR[/mm] I+ [mm]\IR[/mm] J+ [mm]\IR[/mm] K
> [mm]\subset[/mm] H der Untervektorraum der rein imaginären
> Quaternionen. Zeigen sie : Für A [mm]\in[/mm] H gilt:
>
> [mm]A\in[/mm] U [mm]\gdw[/mm] A*=-A
> Hi,
>
> ich komme bei dieser Aufgabe leider gar nicht weiter. Ich
> müsste doch theoretisch zeigen dass das Inverse von A dass
> ja allgemein von der Form [mm]\pmat{ a & -\overline{b} \\ b & \overline{a}}[/mm]
> ist (oder stimmt das schon nicht) gleich -A ist und dass
> man dann -A so wie den Unterraum zerlegen kann oder etwa
> nicht?
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> Es wäre echt nett wenn mir jemand helfen könnte, ich freue
> mich über jede Antwort.
>
> Liebe Grüße
>
> Chris
Jedes A in U kannst du ja als [mm]\alpha*I + \beta*J + \gamma*K[/mm] darstellen.
Wie sehen I*, J*, K* und -I, -J, -K aus?
Für die andere Richtung bestimmst du A* und -A aus der allgemeinen Form [mm]\{\pmat{ a & -\overline{b} \\ b & \overline{a} } | a,b \in \IC \}[/mm] und hast dadurch Bedingungen für a und b, so dass du daraus schliessen kannst, dass du A genau so zerlegen kannst in I,J und K.
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