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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:16 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie für eine beliebige Gruppe ( G , o ) alle Gruppenhomomorphismen von ( [mm] \IZ [/mm] , + ) nach ( G , o) |
Hallo ,
hich muss ich mir für ( G , o ) einfach eine Gruppe auswählen oder ?,
wie soll ich so was bestimmen allgemein für ( G , o )
ich hab ( [mm] \IQ [/mm] , +) gewählt
und mit der Distributivität argumentiert , das bei linearen Abbildungen
der Form
x [mm] \mapsto [/mm] ax a [mm] \in \IR
[/mm]
und x [mm] \mapsto [/mm] x/a a [mm] \in \IR [/mm]
f(x+y) = f(x) + f(y) gilt
(Distributivität: [mm] a(x_{1},x_{2},.....x_{n})= ax_{1} [/mm] + [mm] ax_{2} [/mm] +.. + [mm] ax_{n})
[/mm]
also a [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} ax_{i}
[/mm]
Habt Dank für Rat
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Hallo,
> Bestimmen Sie für eine beliebige Gruppe ( G , o ) alle
> Gruppenhomomorphismen von ( [mm]\IZ[/mm] , + ) nach ( G , o)
> Hallo ,
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> hich muss ich mir für ( G , o ) einfach eine Gruppe
> auswählen oder ?,
> wie soll ich so was bestimmen allgemein für ( G , o )
>
> ich hab ( [mm]\IQ[/mm] , +) gewählt
>
> und mit der Distributivität argumentiert , das bei linearen
> Abbildungen
> der Form
>
> x [mm]\mapsto[/mm] ax a [mm]\in \IR[/mm]
>
> und x [mm]\mapsto[/mm] x/a a [mm]\in \IR[/mm]
>
>
> f(x+y) = f(x) + f(y) gilt
>
> (Distributivität: [mm]a(x_{1},x_{2},.....x_{n})= ax_{1}[/mm] +
> [mm]ax_{2}[/mm] +.. + [mm]ax_{n})[/mm]
>
>
> also a [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} ax_{i}[/mm]
>
ich verstehe deine argumentation nicht ganz, bzw. welche rueckschluesse du nun schliessen kannst, wie die gruppen-homs. aussehen.
ich denke, bei der aufgabe geht es um folgendes: stelle dir vor die 1 aus Z wird von einem Hom. f auf ein element [mm] $g_1=f(1)$ [/mm] aus G abgebildet. was kannst du daraus fuer f(2), f(3), ja sogar f(n) folgern?
was ist mit f(0)? und was mit den negativen zahlen? Hast du also nach der Wahl von [mm] g_1 [/mm] noch freiheitsgrade bei der definition von f? Und was heisst das letzten endes fuer die menge der gruppen-homs.?
gruss
matthias
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> Habt Dank für Rat
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
zunäct mal zu meiner Lösung :
ich hatte ja [mm] (\IZ [/mm] , + ) nach [mm] (\IQ [/mm] , + ) gewählt
Ich sollalle Gruppenhomomorphismen Bestimmen ,
also alle Abbildungen f die
f(x+y) = f(x) + f(y) erfüllen
Ich hab da nur f(x) = ax ,also z.B f(x) = 3x [mm] (a\in \IR) [/mm] halt
denn f(2+5) = a*(2+5) = a*2 + a*5 = f(2) + f(5) (Distributivgesetz)
Ander fand ich nicht die
(x+y) = f(x) + f(y) erfüllen
wenn ich jetzzt allgemein bei (G , o ) bleibe ( ich versuchs zu verstehen)
also
Gruppenhomomorphismen von [mm] (\IZ [/mm] , +) nach ( g , o )
muss ja erfüllt sei :
f(x+y) = f(x) o f(y)
stelle dir vor die 1 aus Z wird von einem Hom. f auf ein element aus G abgebildet. was kannst du daraus fuer f(2), f(3), ja sogar f(n) folgern?
also f(1) [mm] \in [/mm] G
Nach
f(x+y) = f(x) o f(y)
muss ja
f(0+1) = [ f(0) o f(1) ] [mm] \in [/mm] G
also : f(0) o f(1) = f(1) o f(0) = f(1)
also ist das Bild f(0) in G neutrales Element in G
f(2) = f(1) o f(1)
f(3) = f(1) o f(1) 0 f(1) = f(2) o f(1)
f(n) = f(n-1) o f(1) Als Lösung der Aufgabe verstehe ich die Menge aller
Funktionen die Gruppenhopmomorphismen
von [mm] (\IZ [/mm] , +) nach (G,o) siknd.
Wie mache ich weiter ???
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>
> wenn ich jetzzt allgemein bei (G , o ) bleibe ( ich
> versuchs zu verstehen)
>
> also
>
> Gruppenhomomorphismen von [mm](\IZ[/mm] , +) nach ( G , o )
>
> muss ja erfüllt sei :
>
> f(x+y) = f(x) o f(y)
Hallo,
genau.
> also f(1) [mm]\in[/mm] G
Ja.
f(1):=g [mm] \in [/mm] G, denn der 1 aus [mm] \IZ [/mm] wird irgendein Element aus G zugewiesen.
Daraus ergibt sich
>
> f(2) = f(1) o f(1)
[mm] =g^2
[/mm]
> f(3) = f(1) o f(1) 0 f(1)
[mm] =g^3
[/mm]
> f(n) = f(n-1) o f(1)
[mm] =g^n,
[/mm]
und auch f(-n) und f(0) liegen durch f(1):=g fest.
Wieviele Homomorphismen von [mm] (\IZ, [/mm] +) nach (G, [mm] \cirg) [/mm] mit f(1)=g gibt es also?
> Als Lösung der Aufgabe verstehe ich
> die Menge aller
> Funktionen die Gruppenhopmomorphismen
> von [mm](\IZ[/mm] , +) nach (G,o) siknd.
Richtig.
>
> Wie mache ich weiter ???
Du solltest inzwischen herausgefunden haben, wieviele Homomorphismen mit f(1)=g es gibt.
Nun überlege Dir, wieviele Homomorphismen es insgesamt geben kann. Wieviele Möglichkeiten hast Du, der 1 ein Element zuzuweisen?
Gruß v. Angela
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