Gruppenepimorphismus, ect. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei K ein Körper und n [mm] \ge [/mm] 2
Ist die Abbildung phi:GLn(K) -> K\ {0}, A [mm] \mapsto [/mm] detA
ein Gruppenepimorphismus, Gruppenmonomorphismus, Gruppenisomorphismus? |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich brauche bitte Hilfe beim Lösen dieser Aufgabe.
Ich weis, dass ich zeigen muss, ob phi bijektiv, surjektiv, injektiv ist. Wie zeige ich das am besten?
Injektiv wäre ja genau dann wenn det(A) [mm] \not= [/mm] 0 ist
Muss ich alle Eigenschaften einzeln beweisen oder gibt es vlt einen Allgemeinen Trick?
Danke schon mal für die Hilfe!
Lg Confettie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Di 27.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es sei K ein Körper und n [mm]\ge[/mm] 2
> Ist die Abbildung phi:GLn(K) -> K\ {0}, A [mm]\mapsto[/mm] detA
> ein Gruppenepimorphismus, Gruppenmonomorphismus,
> Gruppenisomorphismus?
> Hallo!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich brauche bitte Hilfe beim Lösen dieser Aufgabe.
> Ich weis, dass ich zeigen muss, ob phi bijektiv, surjektiv,
> injektiv ist. Wie zeige ich das am besten?
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> Injektiv wäre ja genau dann wenn det(A) [mm]\not=[/mm] 0 ist
Nein.
Injektivität bedeutet: aus [mm] \phi(A)=\phi(B) [/mm] folgt stets A=B.
folgt aus det(A)=det(B) stets A=B ??
Zeige, dass das nicht stimmt.
Surjektivität: [mm] \phi [/mm] ist surjektiv [mm] \gdw
[/mm]
zu jedem a [mm] \in [/mm] K [mm] \setminus \{0\} [/mm] ex. ein A [mm] \in GL_n(K) [/mm] mit det(A)=a.
Zeige, dass das stimmt.
FRED
> Muss ich alle Eigenschaften einzeln beweisen oder gibt es
> vlt einen Allgemeinen Trick?
> Danke schon mal für die Hilfe!
>
> Lg Confettie
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