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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:33 Sa 10.11.2007 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie:
a) Für jedes g [mm] \in [/mm] G ist die Abbildung [mm] \gamma_{g} [/mm] : x [mm] \mapsto x^{g} [/mm] := [mm] g^{-1}xg [/mm] ein Automorphismus von G.
b) Die Abbildung [mm] \phi [/mm] : G [mm] \to [/mm] Aut(G), g [mm] \mapsto \gamma_{g} [/mm] ist ein Gruppenhomomorphismus.
c) Der Kern von [mm] \phi [/mm] ist das Zentrum von G.
d) Das Bild von [mm] \phi [/mm] heißt die Gruppe der inneren Automorphismen, Inn(G). Zeige: Inn(G) ist ein Normalteiler von Aut(G). |
Hallo Leute,
obige Aufgabe ist auf meinem aktuellen Algebra-Übungszettel. Hört sich eigentlich gar nicht so schwer an, trotzdem komm ich zum Beispiel nicht drauf, wie ich a) zeigen kann. Ich muss ja zunächst zeigen, dass das ein Gruppenhomomorphismus ist und danach, dass er bijektiv ist und gerade da hakts bei mir. Die Gruppe ist ja nicht kommutativ...
b) hab ich mal gemacht, komme aber schlussendlich darauf, dass [mm] \phi (g_{1}g_{2}) [/mm] = [mm] \phi (g_{2}) \circ \phi (g_{1}) [/mm] ist, was ja eigentlich genau umgekehrt sein sollte (???)
c) und d) stell ich mal kurz hinten an. Wär schön wenn mir vielleicht der ein oder andere auf die Sprünge helfen könnte.
Gruß Michi
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> Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie:
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> a) Für jedes g [mm]\in[/mm] G ist die Abbildung [mm]\gamma_{g}[/mm] : x
> [mm]\mapsto x^{g}[/mm] := [mm]g^{-1}xg[/mm] ein Automorphismus von G.
>
> b) Die Abbildung [mm]\phi[/mm] : G [mm]\to[/mm] Aut(G), g [mm]\mapsto \gamma_{g}[/mm]
> ist ein Gruppenhomomorphismus.
>
> c) Der Kern von [mm]\phi[/mm] ist das Zentrum von G.
>
> d) Das Bild von [mm]\phi[/mm] heißt die Gruppe der inneren
> Automorphismen, Inn(G). Zeige: Inn(G) ist ein Normalteiler
> von Aut(G).
> Hallo Leute,
>
> obige Aufgabe ist auf meinem aktuellen
> Algebra-Übungszettel. Hört sich eigentlich gar nicht so
> schwer an, trotzdem komm ich zum Beispiel nicht drauf, wie
> ich a) zeigen kann. Ich muss ja zunächst zeigen, dass das
> ein Gruppenhomomorphismus ist und danach, dass er bijektiv
> ist und gerade da hakts bei mir. Die Gruppe ist ja nicht
> kommutativ...
Hallo,
kannst Du mal vorrechnen, wie Du das machst, und wo es dann hakt.
Sonst kann man schlecht helfen - ich kann mir im Moment gar nicht vorstellen, was Du mit der (nicht vorhandenen) Kommutativität willst.
> b) hab ich mal gemacht, komme aber schlussendlich darauf,
> dass [mm]\phi (g_{1}g_{2})[/mm] = [mm]\phi (g_{2}) \circ \phi (g_{1})[/mm]
> ist, was ja eigentlich genau umgekehrt sein sollte (???)
Auch hier mußt Du vorrechnen.
Allerdings sieht es mir so aus, als würdest Du einen grundsätzlichen Fehler machen.
Was sind bei Dir die [mm] g_i?
[/mm]
Gruß v. Angela
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> c) und d) stell ich mal kurz hinten an. Wär schön wenn mir
> vielleicht der ein oder andere auf die Sprünge helfen
> könnte.
>
> Gruß Michi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Sa 10.11.2007 | | Autor: | MichiNes |
Also zunächst zur a):
x [mm] \mapsto g^{-1}xg [/mm] . Ich meine nur, wenn die Gruppe kommutativ wäre, wäre das ja gleich [mm] g^{-1}gx=ex [/mm] usw. dann wäre die Abbildung trivialerweise bijektiv. Aber so leicht ist es ja nicht.
dann zur b)
z. z. : Für alle [mm] g_{1}, g_{2} \in [/mm] G: [mm] \phi (g_{1}g_{2}) [/mm] = [mm] \phi (g_{1}) \circ \phi (g_{2})
[/mm]
weil [mm] \phi(g)=\gamma_{g} [/mm] ja eine Abbildung ist und die durch [mm] \circ [/mm] miteinander verknüpft werden.
Meine Rechnung:
[mm] \gamma_{g_{1}g_{2}}(x) [/mm] = [mm] (g_{1}g_{2})^{-1}xg_{1}g_{2}=g_{2}^{-1}g_{1}^{-1}xg_{1}g_{2}=g_{2}^{-1}(g_{1}^{-1}xg_{1})g_{2}=\gamma_{g_{2}} \circ \gamma_{g_{1}}(x)
[/mm]
Damit wäre ja dann also [mm] \phi(g_{1}g_{2})=\phi(g_{2}) \circ \phi(g_{1})
[/mm]
Ist das richtig?
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> Also zunächst zur a):
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> x [mm]\mapsto g^{-1}xg[/mm] . Ich meine nur, wenn die Gruppe
> kommutativ wäre, wäre das ja gleich [mm]g^{-1}gx=ex[/mm] usw. dann
> wäre die Abbildung trivialerweise bijektiv. Aber so leicht
> ist es ja nicht.
Hallo,
nein, wenn es auch nicht besonders schwierig ist, ist es soooo einfach nun doch nicht. (In Deinem kommutativen Fall ist die Abb. [mm] \gamma_g [/mm] ja die Identität, also nicht sehr aufregend...)
Du mußt Dir überlegen, was bijektiv ist: injektiv und surjektiv.
Zeig also, daß der Kern der AAb. nur aus dem neutralen Element besteht, und daß Du zu jedem [mm] y\in [/mm] G ein x findest, welches drauf abgebildet wird.
>
> dann zur b)
Die hätte ich zwar etwas anders aufgeschrieben, aber in der Sache bin ich mit Dir einig.
Waren die [mm] \gamma_g [/mm] etwas anders def., nämlich durch [mm] \gamma_g(x):=gxg^{-1} [/mm] wäre alles in bester Ordnung, aber so?
Gruß v. Angela
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