Gruppenaufgabe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Do 03.07.2014 | | Autor: | Caroline |
| Aufgabe | Sei n ungerade. G eine Gruppe der Ordnung 2n und U eine Untergruppe der Ordnung n. Weiterhin gelte für jedes [mm] $g\in G\backslash [/mm] U$ und [mm] $u\in [/mm] U$: [mm] $g^{-1}ug [/mm] = [mm] u^{-1}$
[/mm]
Zeigen Sie:
a) U ist abelsch
b) [mm] $g\in G\backslash [/mm] U [mm] \Rightarrow g^2\in [/mm] U$
c) Jedes Element in [mm] $G\backslash [/mm] U$ hat Ordnung 2 |
Hallo,
ich studiere schon lange kein Mathe mehr, allerdings bin ich über diese Klausuraufgabe gestolpert und sie geht mir nun nicht mehr aus dem Kopf :D
Aufgabe a) ging recht schnell mit der obigen Formel [mm] g^{-1}ug [/mm] = [mm] u^{-1}.
[/mm]
Bei Aufgabe b) hab ich leider keine Ahnung wie die gehen sollte. Was ich weiß ist, dass für jedes [mm] g\in G\backslash [/mm] U gilt [mm] g^{2n}=1 [/mm] und somit [mm] (g^2)^n [/mm] = 1, allerdings hilft das noch nichts.
Könnt ihr mir mit der Aufgabe b) helfen? Für Aufgabe c) interessiere ich mich schon gar nicht mehr, obwohl man damit natürlich b) erschlagen hätte.
Mir juckt es praktisch unter den Fingern, die Lösung der Aufgabe b) zu sehen. Kann mir jemand helfen?
Ich denke es hat irgendwas mit der Ordnung 2n zu tun.
Vielen Dank im Voraus und liebe Grüße
Caro
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Hiho,
Es gilt für alle g [mm] \in G\subset [/mm] U und u [mm] \in [/mm] U:
[mm] $g^{-1}ug [/mm] = [mm] u^{-1} \Rightarrow [/mm] g = [mm] u^{-1}gu^{-1}$ [/mm] (*)
Daraus folgt:
[mm] $g^2 [/mm] = [mm] \left(u^{-1}gu^{-1}\right)^2 [/mm] = [mm] u^{-1}gu^{-2}gu^{-1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] ug^2u = [mm] gu^{-2}g$
[/mm]
Annahme: [mm] $g^2 \not\in [/mm] U [mm] \Rightarrow g^2 \in G\setminus [/mm] U$ und damit hält (*) auch für [mm] g^2 [/mm] statt g und u statt [mm] $u^{-1}$, [/mm] da es ja für alle [mm] $g\in G\setminus [/mm] U$ und [mm] $u\in [/mm] U$ hält.
[mm] $\Rightarrow g^2 [/mm] = [mm] gu^{-2}g \Rightarrow u^2 [/mm] = e [mm] \Rightarrow [/mm] u=e$ (da die Ordnung des Elements die Gruppenordnung n teilen muss und n ungerade, und u maximal Ordnung zwei hat, hat u die Ordnung 1, ist also das neutrale Element)
[mm] $\Rightarrow [/mm] U={e}$
[mm] $\Rightarrow [/mm] |G| = 2$ Widerspruch zur Annahme (denn sonst wäre für jedes Element [mm] $g^2 \in [/mm] U$
D.h. [mm] $g^2 \in [/mm] U$
Gruß,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Do 03.07.2014 | | Autor: | hippias |
Dies als Alternativvorschlag: Die Behauptungen sind trivial, wenn $n=1$ ist. Sei also $n>1$ vorausgesetzt.
1. Sei [mm] $u\in [/mm] U$ mit [mm] $u=u^{-1}$. [/mm] Dann ist $u=1$.
Beweis. Wenn [mm] $u=u^{-1}$ [/mm] ist, dann gilt [mm] $u^{2}= [/mm] 1$. Damit gilt, dass die Ordnung von $u$ gleich $1$ oder $2$ ist. Andererseits ist die Ordnung von $u$ ein Teiler $n$ (Satz von Lagrange), was nach Voraussetzung ungerade ist. Damit muss $o(u)=1$ sein, also $u=1$.
2. Fuer alle [mm] $g\in G\backslash [/mm] U$ gilt [mm] $g^{2}=1$.
[/mm]
Beweis. Angenommen [mm] $g^{2}\in G\backslash [/mm] U$. Wegen $n>1$ existiert [mm] $1\neq u\in [/mm] U$. Dann gilt [mm] $u^{-1}= g^{-2}ug^{2}= g^{-1}(g^{-1}ug)g=g^{-1}u^{-1}g= (u^{-1})^{-1}= [/mm] u$ (beachte, dass auch [mm] $g\in G\backslash [/mm] U$ vorausgesetzt ist.) Dies ist ein Widerspruch zu 1., sodass [mm] $g^{2}\in [/mm] U$ gilt.
Nun kommutieren aber $g$ und [mm] $g^{2}$, [/mm] sodass einerseits [mm] $g^{-1}g^{2}g= g^{2}$ [/mm] ist, andererseits ist wegen [mm] $g^{2}\in [/mm] U$ auch [mm] $g^{-1}g^{2}g= g^{-2}$. [/mm] Aus 1. folgt [mm] $g^{2}=1$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Mo 07.07.2014 | | Autor: | Caroline |
Danke euch, nun kann ich wieder beruhigt schlafen. :)
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