Gruppen und Normalteiler < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:35 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Sinchen2306 |
Hallo!
hab da mal ein paar Fragen:
1. Wie beweise ich Folgendes:
Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Dann gilt: [mm] \produkt_{g Element G} [/mm] g²=1
2.Für welche Primzahlen p gilt: Falls H eine Untergruppe in G mit [G : H]=p ist, so ist H normal in G.
3. Sei G eine Gruppe mit einem Normalteiler N. Es besitze N die folgende Maximalitätseigenschaft: Ist H [mm] \subseteq [/mm] G eine Untergruppe mit N [mm] \subseteq [/mm] H, dann gilt N = H oder G = H. Beweise, dass zwei nicht-triviale Untergruppen H1 und H2 mit H1 [mm] \cap [/mm] N = H2 [mm] \cap [/mm] N = {1} isomorph sind.
Ich weiss, dass sind eine Menge Fragen auf einmal, aber vielleicht hat ja jemand zu ner Frage die ein oder andere Idee!
Lieben Gruß
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Hallo Sina,
Zu Aufgabe 1:
Bilde 2 Teilprodukte: Das Produkt der Quadrate aller Elemente, die zu sich selbst invers sind, und das Produkt der Quadrate aller Elemente, die nicht zu sich selbst invers sind. Im ersten Produkt ist jedes [mm] g^2 [/mm] gleich 1, im zweiten Produkt kannst du wegen der Kommutativität jeden Fakor mit seinem Inversen zusammenfassen.
Zu Aufgabe 2:
Für p=2 gilt das schonmal. Da du in diesem Fall nur 2 Linksnebenklassen hast, gilt für jedes Element x aus G, dass [mm] x^2 [/mm] in H liegt (es ist xH = [mm] x^{-1}H, [/mm] wobei du im Beweis unterscheiden musst, ob x aus H ist oder nicht). Dann musst du noch [mm] ghg^{-1} [/mm] = [mm] gh(ghh^{-1}g^{-1})g^{-1} [/mm] = [mm] (gh)^2h^{-1}g^{-2} [/mm] benutzen.
Zu jeder weiteren Primzahl p ist die Diedergruppe mit 2p Elementen eine Beispiel für eine Gruppe G, die eine Untergruppe H vom Index p hat, welche nicht normal ist.
Aufgabe 3 kommt später.
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Fr 22.10.2004 | | Autor: | SirJective |
Ja Stefan, es geht mit einem Isomorphiesatz, nämlich mit dem, der einen Isomorphismus zwischen H/(N [mm] \cap [/mm] H) und NH/N postuliert, für einen Normalteiler N und eine Untergruppe H von G. Wendet man den für H = [mm] H_1 [/mm] und H = [mm] H_2 [/mm] an, erhält man mit deinen Ausführungen die Behauptung.
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, versuche ich mich mal an der 3. Ich hoffe, liebe Alex, du verzeihst mir das, aber ich kann hier ja wenigstens noch was lernen (du kannst das ja eh alles schon 