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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Mi 21.12.2011 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | | Was ist injektiv, surjektiv, bijektiv? Was ist ein Homomorphismus und Isomorphismus? |
Diese Fragen stelle ich mir selber.
Ich verstehe überhaupt nicht, was man darunter versteht. Ich habe auch schon z.b im Buch Algebra von Michael Artin nachgeschaut oder auch im Internet (bzw. wiki oder sonstiges). Aber diese Definitionen bringen mir nicht viel, da ich sie nicht verstehe.
Kann dies auch einfacher erklärt werden?
Ich kann mir nichts bildlich vorstellen.
Dankeschön! lg
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Hallo unibasel,
> Was ist injektiv, surjektiv, bijektiv? Was ist ein
> Homomorphismus und Isomorphismus?
> Diese Fragen stelle ich mir selber.
>
> Ich verstehe überhaupt nicht, was man darunter versteht.
Uff, und das als Mathestudent im Hauptstudium?
Die Begriffe (zumindest die ersten drei) kommen doch schon im Vorkurs dran ...)
> Ich habe auch schon z.b im Buch Algebra von Michael Artin
> nachgeschaut oder auch im Internet (bzw. wiki oder
> sonstiges). Aber diese Definitionen bringen mir nicht viel,
> da ich sie nicht verstehe.
Naja, das ist sehr schwammig, du müsstest genauer sagen, was du konkret an den Definitionen nicht verstehst.
Die sind doch allesamt sehr klar formuliert.
Nun, Injektivität, Surjektivität und Bijektivität sind Eigenschaften von Funktionen bzw. Abbildungen.
Ganz grob gesagt heißt eine Funktion [mm]f[/mm] injektiv, wenn keine zwei verschiedenen Werte aus dem Definitionsbereich auf ein- und denselben Wert im Zielbereich geschickt werden.
Nimm zB. mal die Funktion [mm]f:\IR\to\IR^+_0, x\mapsto x^2[/mm]
Die ist nicht injektiv, denn zB. [mm]x_1=-1[/mm] und [mm]x_2=+1[/mm] sind zwar verschieden, werden aber auf dasselbe Bild [mm]f(x_1)=(-1)^2=\red{1}=1^2=f(x_2)[/mm] geschickt.
Wenn du die Funktion ein klein wenig änderst und ihren Definitionsbereich auf [mm]\IR^+_0[/mm] einschränkst, also [mm]\tilde f:\IR^+_0\to\IR^+_0, x\mapsto x^2[/mm], betrachtest, so ist diese Einschränkung injektiv.
Wenn immer du zwei verschiedene x-Werte aus dem Definitionsbereich hernimmst, so sind auch ihre beiden Bilder verschieden.
Surjektiv bedeutet, dass jedes Element aus dem Zielbereich "getroffen" wird.
Dh. wenn eine Funktion surjektiv ist, kannst du zu jedem (y-)Wert aus dem Zielbereich einen x-Wert aus dem Definitionsbereich angeben, der auf dieses y abgebildet wird.
[mm]f:D\to M[/mm] heißt surjektiv, wenn du zu jedem [mm]y\in M[/mm] ein [mm]x\in D[/mm] angeben kannst mit [mm]f(x)=y[/mm]
(Das x muss nicht eindeutig sein, es kann mehrere (verschiedene) x geben)
Nimm wieder die Funktion von oben [mm]f:\IR\to\IR^+_0, x\mapsto x^2[/mm]
Wir wissen schon, dass sie nicht injektiv ist. Ist sie surjektiv?
Können wir zu jedem [mm]y\in\IR^+_0[/mm] (mind.) ein [mm]x\in\IR[/mm] angeben mit [mm]f(x)=y[/mm] ?
Schauen wir mal nach:
Geben wir uns ein bel. [mm]y\in\IR^+_0[/mm] vor, also ist [mm]y\ge 0[/mm], damit ist [mm]\sqrt{y}[/mm] wohldefiniert.
Wählen wir nun [mm]x=\pm\sqrt{y}[/mm], so ist [mm]f(x)=(\pm\sqrt{y})^2=y[/mm]
[mm]x=\sqrt{y}[/mm] und [mm]x=-\sqrt{y}[/mm] leisten also das Gewünschte und [mm]f[/mm] ist surjektiv.
Bijektiv bedeutet surjektiv und injektiv zugleich.
Zu den Homomorphismen:
Das sind Abbildungen zwischen algebraischen Strukturen, etwa Gruppenhomomorphismen, die die Strukturen bzw. Verknüpfungen auf den Strukturen respektieren.
Nehmen wir zwei Gruppen [mm](G,\circ)[/mm] und [mm](H,\star)[/mm] und einen Homomorphismus: [mm]f:G\to H[/mm]
Dann bedeutet die Strukturerhaltung: [mm]f(x\circ y)=f(x)\star f(y)[/mm] für alle [mm]x,y\in G[/mm]
Dh. es ist egal, ob du zuerst (innerhalb von G) zwei Elemente verknüpfst [mm](x\circ y)[/mm] und dann abbildest ([mm]f(x\circ y)[/mm]) oder ob du zuerst die beiden Elemente abbildest ([mm]f(x)[/mm] und [mm]f(y)[/mm]) und dann (innerhalb von H - es sind ja [mm]f(x),f(y)\in H[/mm]) verknüpfst ([mm]f(x)\star f(y)[/mm])
Isomorphismen sind spezielle Homomorphismen, nämlich bijektive.
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> Kann dies auch einfacher erklärt werden?
> Ich kann mir nichts bildlich vorstellen.
>
> Dankeschön! lg
Hoffe, das klärt es ein bisschen auf ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Mi 21.12.2011 | | Autor: | unibasel |
Nun zuerst möchte ich mich bei dir herzlichst bei dir bedanken.
Da ich erst im ersten Semester bin, keinen Mathematikschwerpunkt hatte, im Vorkurs diese Themen überhaupt nicht vorgekommen sind & unser Dozent uns davonrennt, dachte ich, ich frage mal nach.
Bin dir wirklich sehr dankbar für die guten Erklärungen.
Danke für die Mühe und deine Zeit:)
lg
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