Gruppe der Ordnung p*q < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei G eine Gruppe der Ordnung p · q mit Primzahlen p < q.
Zeige, dass G eine Untergruppe der Ordnung p hat. |
Diese Aussage folgt wohl direkt aus einem Sylowsatz.
Diese Sätze dürfen jedoch nicht verwendet werden.
Ich habe mir gedacht, man kann sich ja erst mal die Ordnungen der Gruppenelemente ansehen.
Da kommen ja - ausser für e - nur p,q und p*q in Frage.
Gibt es ein Element a mit Ordnung p*q, so hätte man sofort auch Elemente der Ordnungen p und q. (Nämlich [mm] a^{q} [/mm] und [mm] a^{p})
[/mm]
Es gibt also definitiv Elemente der Ordnung p oder q.
Ich vermute mal ganz stark, dass es sowohl welche mit Ordnung p, als auch welche mit Ordnung q gibt, weiss aber nicht, wie ich das beweisen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Do 12.03.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei G eine Gruppe der Ordnung p · q mit Primzahlen p < q.
> Zeige, dass G eine Untergruppe der Ordnung p hat.
>
> Diese Aussage folgt wohl direkt aus einem Sylowsatz.
Ja, das tut sie.
> Diese Sätze dürfen jedoch nicht verwendet werden.
>
> Ich habe mir gedacht, man kann sich ja erst mal die
> Ordnungen der Gruppenelemente ansehen.
>
> Da kommen ja - ausser für e - nur p,q und p*q in Frage.
> Gibt es ein Element a mit Ordnung p*q, so hätte man sofort
> auch Elemente der Ordnungen p und q. (Nämlich [mm]a^{q}[/mm] und
> [mm]a^{p})[/mm]
Genau.
> Es gibt also definitiv Elemente der Ordnung p oder q.
>
> Ich vermute mal ganz stark, dass es sowohl welche mit
> Ordnung p, als auch welche mit Ordnung q gibt, weiss aber
> nicht, wie ich das beweisen soll.
Nehmen wir doch mal an, es gibt kein Element der Ordnung $p$. Dann hat jedes Element entweder Ordnung 1 oder Ordnung $q$: es gibt ein Element der Ordnung 1 und $p q - 1$ Elemente der Ordnung $q$.
Jedes Element der Ordnung $q$ liegt in einer Untergruppe der Ordnung $q$, und zwei solche Untergruppen sind entweder gleich oder haben als gemeinsames Element nur das neutrale Element.
Die $p q - 1$ Elemente der Ordnung $q$ wird dadurch also in disjunkte Mengen von $q - 1$ Elementen aufgeteilt, also ist $q - 1$ ein Teiler von $p q - 1$. Aber kann das sein?
LG Felix
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