Gruppe der Ordnung p*k < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:55 Do 31.05.2007 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | | Seien p < q zwei verschiedene Primzahlen. Bestimme bis auf Isomorphie alle Gruppen der Ordnung p*q. |
Hallo Forum,
ich versuch grad die Aufgabe zu lösen, aber ich weiß gar nicht, wie ich hier vorgehen muss. Soll man hier den Sylow-Satz anwenden? Weil wenn |G| = p*q, dann hat die p-Sylowuntergruppe die Ordnung p, und die q-Sylowgruppe die Ordnung q. Beide sind Normalteiler.
Hilft das was bei der Aufgabe weiter? Ich weiß gar nicht, wie ich all diese Gruppen bestimmen kann, wenn ich doch gar nicht weiß, was p und q sind.
Eine Gruppe der Ordnung p*q, ist doch [mm] \IZ_{pq}. [/mm] Eine andere wäre [mm] \IZ_{p} \times \IZ_{q}. [/mm] Oder nicht?
Gibt es noch weitere Gruppen?
Hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Viele Grüße,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Fr 01.06.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Moe!
> Seien p < q zwei verschiedene Primzahlen. Bestimme bis auf
> Isomorphie alle Gruppen der Ordnung p*q.
> ich versuch grad die Aufgabe zu lösen, aber ich weiß gar
> nicht, wie ich hier vorgehen muss. Soll man hier den
> Sylow-Satz anwenden? Weil wenn |G| = p*q, dann hat die
> p-Sylowuntergruppe die Ordnung p, und die q-Sylowgruppe die
> Ordnung q. Beide sind Normalteiler.
Nicht unbedingt, wenn p z. B. = 2 ist?
> Hilft das was bei der Aufgabe weiter? Ich weiß gar nicht,
> wie ich all diese Gruppen bestimmen kann, wenn ich doch gar
> nicht weiß, was p und q sind.
> Eine Gruppe der Ordnung p*q, ist doch [mm]\IZ_{pq}.[/mm] Eine
> andere wäre [mm]\IZ_{p} \times \IZ_{q}.[/mm] Oder nicht?
Die beiden sind isomorph, das folgt aus dem Chinesischen Restsatz.
> Gibt es noch weitere Gruppen?
Für p=2 z. B. die Diedergruppen.
Ich schlage vor, die beiden Fälle p=2 und p, q [mm] \not= [/mm] 2 getrennt zu untersuchen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo statler,
danke für deine Antwort, ich hab sie leider nur nicht ganz verstanden 
> > ich versuch grad die Aufgabe zu lösen, aber ich weiß gar
> > nicht, wie ich hier vorgehen muss. Soll man hier den
> > Sylow-Satz anwenden? Weil wenn |G| = p*q, dann hat die
> > p-Sylowuntergruppe die Ordnung p, und die q-Sylowgruppe die
> > Ordnung q. Beide sind Normalteiler.
>
> Nicht unbedingt, wenn p z. B. = 2 ist?
Wenn p = 2 ist, dann ist |G| = 2 q, und 2 ist ja eine Primzahl. Nach dem Satz von Sylow, muss die Ordnung der 2-Sylowuntergruppe die Ordnung von G teilen und es muss gelten [mm] n_{2} \equiv [/mm] 1 mod 2. Also kann [mm] n_{2} [/mm] nur = 1 sein oder täusche ich mich? Und wenn es nur eine 2-Sylowuntergruppe gibt, dann ist diese doch Normalteiler oder nicht?
>
> > Hilft das was bei der Aufgabe weiter? Ich weiß gar nicht,
> > wie ich all diese Gruppen bestimmen kann, wenn ich doch gar
> > nicht weiß, was p und q sind.
> > Eine Gruppe der Ordnung p*q, ist doch [mm]\IZ_{pq}.[/mm] Eine
> > andere wäre [mm]\IZ_{p} \times \IZ_{q}.[/mm] Oder nicht?
>
> Die beiden sind isomorph, das folgt aus dem Chinesischen
> Restsatz.
Ja das ist mir bekannt.
>
> > Gibt es noch weitere Gruppen?
>
> Für p=2 z. B. die Diedergruppen.
>
> Ich schlage vor, die beiden Fälle p=2 und p, q [mm]\not=[/mm] 2
> getrennt zu untersuchen.
Muss man das nicht für allgemeine p und q zeigen? Oder warum muss man das genau für p = 2 und p,q [mm] \not= [/mm] 2 zeigen?
Viele Grüßeund nochmal danke,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Fr 01.06.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> danke für deine Antwort, ich hab sie leider nur nicht ganz
> verstanden
Das ist natürlich schade!
> > > ich versuch grad die Aufgabe zu lösen, aber ich weiß gar
> > > nicht, wie ich hier vorgehen muss. Soll man hier den
> > > Sylow-Satz anwenden? Weil wenn |G| = p*q, dann hat die
> > > p-Sylowuntergruppe die Ordnung p, und die q-Sylowgruppe die
> > > Ordnung q. Beide sind Normalteiler.
> >
> > Nicht unbedingt, wenn p z. B. = 2 ist?
>
> Wenn p = 2 ist, dann ist |G| = 2 q, und 2 ist ja eine
> Primzahl. Nach dem Satz von Sylow, muss die Ordnung der
> 2-Sylowuntergruppe die Ordnung von G teilen und es muss
> gelten [mm]n_{2} \equiv[/mm] 1 mod 2. Also kann [mm]n_{2}[/mm] nur = 1 sein
> oder täusche ich mich?
Und wie! Die Anzahl der 2-Sylow-Untergruppen kann doch auch q sein.
> Und wenn es nur eine
> 2-Sylowuntergruppe gibt, dann ist diese doch Normalteiler
> oder nicht?
Dann ja.
> > > Hilft das was bei der Aufgabe weiter? Ich weiß gar nicht,
> > > wie ich all diese Gruppen bestimmen kann, wenn ich doch gar
> > > nicht weiß, was p und q sind.
> > > Eine Gruppe der Ordnung p*q, ist doch [mm]\IZ_{pq}.[/mm] Eine
> > > andere wäre [mm]\IZ_{p} \times \IZ_{q}.[/mm] Oder nicht?
> >
> > Die beiden sind isomorph, das folgt aus dem Chinesischen
> > Restsatz.
> Ja das ist mir bekannt.
> >
> > > Gibt es noch weitere Gruppen?
> >
> > Für p=2 z. B. die Diedergruppen.
> >
> > Ich schlage vor, die beiden Fälle p=2 und p, q [mm]\not=[/mm] 2
> > getrennt zu untersuchen.
> Muss man das nicht für allgemeine p und q zeigen? Oder
> warum muss man das genau für p = 2 und p,q [mm]\not=[/mm] 2
> zeigen?
Das muß man nicht so machen, es war ja ein Vorschlag.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Moe007 |
Hallo statler,
danke für deine Antwort.
Kann ich bei der Aufgabe, das für Beispielprimzahlen zeigen, wie z.B. p=2, und l = 3? Dann hätte ich als isomorphe Gruppen [mm] \IZ_{6}, \IZ_{2} \times \IZ_{3} [/mm] und die Diedergruppe [mm] D_{2} [/mm] = { e, [mm] \rho, \rho^{2}, \rho^{3} [/mm] }, wobei [mm] \rho [/mm] die Rotation um [mm] \pi [/mm] ist. Stimmt die Diedergruppe so?
Wie kann ich das dann auf den allgemeinen Fall schließen und alle Gruppen der Ordnung p*q bestimmen?
Viele Grüße und ein schönes We,
Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 So 03.06.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Kann ich bei der Aufgabe, das für Beispielprimzahlen
> zeigen, wie z.B. p=2, und l = 3?
An Beispielen kannst du dir die Aufgabenstellung verdeutlichen, eben ein Beispiel nehmen, aber klären sollst du doch die Struktur für alle Primzahlen p und q. Da es unendlich viele Primzahlen gibt, brauchst du einen allgemeinen Beweis.
> Dann hätte ich als
> isomorphe Gruppen [mm]\IZ_{6}, \IZ_{2} \times \IZ_{3}[/mm] und die
> Diedergruppe [mm]D_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { e, [mm]\rho, \rho^{2}, \rho^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, wobei
> [mm]\rho[/mm] die Rotation um [mm]\pi[/mm] ist. Stimmt die Diedergruppe so?
Überhaupt nicht! Du erhältst für p = 2 und l = 3 eine Gruppe der Ordnung 6. Du müßtest (könntest/solltest) wissen, daß es für Ordnung 6 überhaupt nur 2 nicht-isomorphe Gruppen gibt: [mm] \IZ_{6} \cong \IZ_{2} \times \IZ_{3} [/mm] (das hatte ich früher schon mal gesagt) und [mm] S_{3} [/mm] (die Permutationsgruppe auf 3 Elementen). Man kann sie leicht unterscheiden: Die eine ist abelsch, die andere nicht. Nun gibt es natürlich auch eine Diedergruppe [mm] D_{3} [/mm] mit 6 Elementen (die Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks). Sie besteht aus 3 Spiegelungen und 3 Drehungen (die Identität ist eine Drehung). Überleg dir selbst, zu welcher von den beiden sie isomorph ist.
Eine [mm] D_{2} [/mm] mit 4 Elementen gibt es nicht so richtig, was sollte die Symmetriegruppe des regelmäßigen Zweiecks sein?
Der nächste Fall, der in Frage kommt, ist p = 2 und l = 5. Auch da gibt es wieder die [mm] \IZ_{10} \cong \IZ_{2} \times \IZ_{5} [/mm] als kommutativen Vertreter und die [mm] D_{5} [/mm] als nicht-kommutativen Vertreter. Es gibt nicht mehr (genauer: Alle anderen sind zu einer von diesen beiden isomorph.), und das solltest du mal versuchen zu beweisen, vielleicht mit möglichen Verknüpfungstafeln.
Wir helfen hier gerne weiter, aber eigene Versuche sind völlig unerläßlich.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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