Gruppe der Ordnung 20 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:07 Mo 06.11.2006 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | | Aufgabe: Man finde heraus, wie viele Elemente der Ordnung 5 eine Gruppe der Ordnung 20 enthält. |
Hallo,
kann mir jemand damit helfen? Ich habe keine Ahnung wie ich das machen soll. Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 Mo 06.11.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag!
> Aufgabe: Man finde heraus, wie viele Elemente der Ordnung 5
> eine Gruppe der Ordnung 20 enthält.
Ein Beweis hängt etwas davon ab, was man benutzen darf. Wenn man die Sylow-Sätze kennt, ist sofort klar, daß es genau eine U-Gruppe der Ordnung 5 gibt und damit 4 Elemente der Ordnung 5.
Mindestens braucht man wohl den Satz von Cauchy, der besagt, daß es ein Element der Ordnung 5 gibt. Weil dieses El. eine zyklische U-Gruppe erzeugt, gibt es also mind. 4 Elemente der Ordnung 5.
Jetzt muß man sich noch überlegen, daß es für eine 2. U-Gruppe der Ordnung 5 keinen Platz gibt. Vielleicht versuchst du das mal selbst mit den Voraussetzungen, die du aus der Vorlesung benutzen darfst.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:39 Mo 06.11.2006 | | Autor: | MasterEd |
Wir dürfen die Sylow-Sätze benutzen, aber mir ist nicht so ganz klar, warum das dann sofort daraus folgt. Vielleicht könntest Du mir das nochmal kurz erklären?
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 Mo 06.11.2006 | | Autor: | statler |
Hey!
> Wir dürfen die Sylow-Sätze benutzen, aber mir ist nicht so
> ganz klar, warum das dann sofort daraus folgt. Vielleicht
> könntest Du mir das nochmal kurz erklären?
Weil es danach (mind.) eine U-Gruppe der Ordnung 5 gibt, ihre Anzahl [mm] \equiv [/mm] 1 mod 5 ist und ein Teiler der Gruppenordnung, also 20. Das geht nur, wenn die Anzahl = 1 ist.
Gruß
Dieter
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