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| Aufgabe | | Sei p Primzahl. Die Gruppe [mm] GL_{2}(\IZ_{p}) [/mm] ist durch 2x2 Matrizen aus Restklassen mod p mit der üblichen Matrizen multiplikation gegeben. Zeigen Sie [mm] |GL_{2}(\IZ_{p})|=(p-1)^{2}p(p+1) [/mm] |
Hi,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Bisher habe ich mir überlegt, dass es an der Stelle [mm] a_{11} [/mm] und an der Stelle [mm] a_{22} [/mm] jeweils (p-1) Möglichkeiten für Einträge gibt:
Alle Zahlen von 1 bis p-1; Solange die Zeilenvektoren linear unabhängig sind, ist die Matrix noch invertierbar.
Als nächstes habe ich mir überlegt, dass man in den Einträgen [mm] a_{12} [/mm] und [mm] a_{21} [/mm] (p-1) bzw p verschiedene Einträge stehen haben kann, weil es dürfen nicht beide mit dem Eintrag über bzw unter sich übereinstimmen.
Insgesamt komme ich dann aber nur auf [mm] p(p-1)^3 [/mm] Möglichkeiten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Di 10.11.2009 | | Autor: | statler |
Hi,
ich habe die Frage leider zu spät entdeckt.
> Sei p Primzahl. Die Gruppe [mm]GL_{2}(\IZ_{p})[/mm] ist durch 2x2
> Matrizen aus Restklassen mod p mit der üblichen Matrizen
> multiplikation gegeben. Zeigen Sie
> [mm]|GL_{2}(\IZ_{p})|=(p-1)^{2}p(p+1)[/mm]
Überleg dir, wie viele lin. unabhängige Spalten du hinkriegst. Für die 1. Spalte kannst du jeden Vektor außer dem Nullvektor nehmen, das sind [mm] $p^2 [/mm] - 1.$ Für die 2. Spalte kannst du jeden nehmen, der kein Vielfaches der 1. Spalte ist. Das gibt [mm] $p^2 [/mm] - p = p(p-1)$ Möglichkeiten. Das Produkt ist gerade die gegebene Lösung.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Hanz |
> Überleg dir, wie viele lin. unabhängige Spalten du
> hinkriegst. Für die 1. Spalte kannst du jeden Vektor
> außer dem Nullvektor nehmen, das sind [mm]p^2 - 1.[/mm] Für die 2.
> Spalte kannst du jeden nehmen, der kein Vielfaches der 1.
> Spalte ist. Das gibt [mm]p^2 - p = p(p-1)[/mm] Möglichkeiten. Das
> Produkt ist gerade die gegebene Lösung.
Hi,
ich hätte Mal ne Frage zu dieser Aufgabe und zwar:
Die Matrix muss ja invertierbar sein, d.h. die beiden Spalten müssen l.u. zueinander sein.
[mm] \IZ_p= [/mm] {0,...,p-1} hat also die Ordnung p, weil p Elemente.
Dass für die 1. Spalte p²-1 gilt, leuchtet mir ein, denn wie du schon gesagt hast kann man für die erste Spalte an beiden Positionen alle p Zahlen einsetzen nur den Nullvektor muss man rauslassen.
Aber warum genau heisst es in der 2. Spalte p²-p? p² weil man ja zunächst alle Vektoren nimmt. Dann muss man aber noch gucken, wann die MAtrix invertierbar bleibt, also alle Vielfachen aus dieser Menge herausnehmen.
Mir ist jedoch net ganz klar, warum es genau p Vielfache sein müssen...
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> Aber warum genau heisst es in der 2. Spalte p²-p? p² weil
> man ja zunächst alle Vektoren nimmt. Dann muss man aber
> noch gucken, wann die MAtrix invertierbar bleibt, also alle
> Vielfachen aus dieser Menge herausnehmen.
> Mir ist jedoch net ganz klar, warum es genau p Vielfache
> sein müssen...
Hallo,
weil Dir zum Multiplizieren des Vektors [mm] \vec{v} [/mm] nur die p Elemente des Körpers zur Verfügung stehen.
Womit willst Du sonst noch multiplizieren? Da ist nix mehr!
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Sa 12.12.2009 | | Autor: | Hanz |
So richtig klick gemacht hat es noch nicht :/
Also es gilt ja: Die Matrix [mm] \pmat{ [a] & [b] \\ [c] & [d] } \in GL(\IZ_p) \gdw [/mm] u:= [mm] \vektor{[a] \\ [c]} [/mm] und v:= [mm] \vektor{[b] \\ [d]} [/mm] linear unabhängig sind.
Für u war es mir klar:
Der Vektor u hat an der Komponente [a] p Möglichkeiten und ebenso an der Komponente [c] p Möglichkeiten einen Eintrag zu haben, also p². ABER der Nullvektor ist l.a. zu jedem Vektor, d.h. dieser wird durch p²-1 ausgeschlossen.
Für v gilt zunächst auch p Möglickeiten für [b] und p Möglichkeiten für [d], also zunächst p². Heißt p²-p nun, dass von allen Vektoren v alle Vielfachen p*v abgezogen werden? Aber warum schließt das dann den Nullvektor aus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:28 So 13.12.2009 | | Autor: | felixf |
Moin!
> So richtig klick gemacht hat es noch nicht :/
>
> Also es gilt ja: Die Matrix [mm]\pmat{ [a] & [b]\\ [c] & [d] } \in GL(\IZ_p) \gdw[/mm] [/b][/mm]
> [mm][b]u:= [mm]\vektor{[a] \\ [c]}[/mm] und v:= [mm]\vektor{[b] \\ [d]}[/mm] linear [/b][/mm][/b][/mm]
Ja. (Warum verwendest du eigentlich die rechteckigen Klammern? Jetzt ist die ganze Formatierung im Eimer...)
> [mm][b][mm][b]unabhängig sind.[/b][/mm][/b][/mm]
> [mm][b][mm][b] [/b][/mm][/b][/mm]
> [mm][b][mm][b]Für u war es mir klar:[/b][/mm][/b][/mm]
> [mm][b][mm][b] Der Vektor u hat an der Komponente [a] p Möglichkeiten [/b][/mm][/b][/mm]
> [mm][b][mm][b]und ebenso an der Komponente [c] p Möglichkeiten einen [/b][/mm][/b][/mm]
> [mm][b][mm][b]Eintrag zu haben, also p². ABER der Nullvektor ist l.a. zu [/b][/mm][/b][/mm]
> [mm][b][mm][b]jedem Vektor, d.h. dieser wird durch p²-1 ausgeschlossen.[/b][/mm][/b][/mm]
Genau.
> [mm][b][mm][b]Für v gilt zunächst auch p Möglickeiten für [b]und p [/b][/b][/mm][/b][/mm]
> [mm][b][mm][b][b]Möglichkeiten für [d], also zunächst p². Heißt p²-p [/b][/b][/mm][/b][/mm]
> [mm][b][mm][b][b]nun, dass von allen Vektoren v alle Vielfachen p*v [/b][/b][/mm][/b][/mm]
> abgezogen werden?
Genau, das bedeutet es.
> Aber warum schließt das dann den
> [mm][b][mm][b][b]Nullvektor aus? [/b][/b][/mm][/b][/mm]
Weil der Nullvektor ein Vielfaches von $v$ ist, naemlich $0 [mm] \cdot [/mm] v$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 So 13.12.2009 | | Autor: | Hanz |
Achso, ja klar danke!
Nun habe ich es geschnallt!
Die eckigen Klammern habe ich wegen den Restklassen geschrieben.
Aber eine kleine Frage hätte ich dann noch:
Man hat dann ja p²-1 Möglichkeiten für die erste Spalte und p²-p für die zwote. Warum multipliziert man die Möglichkeiten und addiert sie nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 So 13.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Aber eine kleine Frage hätte ich dann noch:
> Man hat dann ja p²-1 Möglichkeiten für die erste Spalte
> und p²-p für die zwote. Warum multipliziert man die
> Möglichkeiten und addiert sie nicht?
Gegenfragt: Du kannst je zwischen 10 Vorspeisen und 10 Nachspeisen waehlen. Hast du dann 10+10=20 Moeglichkeiten oder 10*10=100 Moeglichkeiten, dir eine Mahlzeit zusammenzustellen?
LG Felix
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