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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:01 So 22.11.2009 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe 1 | Sei [mm] (G,\*) [/mm] eine Gruppe und [mm] S_{G} [/mm] die symmetrische Gruppe zu der Menge G. Für g [mm] \in [/mm] G sei
[mm] \Psi: [/mm] G [mm] \to [/mm] G definiert durch [mm] \Psi_{g}(x) [/mm] := [mm] gxg^{-1} [/mm] (x [mm] \in [/mm] G).
Zeigen Sie, dass jedes [mm] \psi_{g} [/mm] bijektiv ist (und damit in [mm] S_{G} [/mm] liegt). Zeigen Sie weiter, dass die Abbildung
[mm] \Psi: [/mm] G [mm] \to S_{G}, [/mm] g [mm] \mapsto \Psi_{g} [/mm] (g [mm] \in [/mm] G)
ein Gruppenhomomorphismus ist. |
| Aufgabe 2 | Sei [mm] (G,\*) [/mm] eine Gruppe und [mm] S_{G} [/mm] die symmetrische Gruppe zu der Menge G. Sei weiter
[mm] \Psi: [/mm] G [mm] \to S_{G}, [/mm] g [mm] \mapsto \Psi_{g} [/mm] (g [mm] \in [/mm] G)
der in Aufgabe 1 definierte Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie, dass [mm] \Psi [/mm] im Falle der Gruppe [mm] G=S_{5} [/mm] injektiv ist. |
1) Wie kann man sich die Menge G vorstellen, aus welchen Elementen besteht Sie?
2) Wie sieht symmetrische Gruppe [mm] S_{G} [/mm] zu der entsprechenden Menge G aus?
3) Ist es sinnvoll, die Injektivität des gruppenhomomorphismus zu zeigen, um dann sagen zu können, dass das Zentrum von G nur [mm] e_{G} [/mm] sein kann, weil sonst die Injektivität verletzt wäre?
4) "Zeigen Sie, das [mm] \Psi [/mm] im Falle der Gruppe G = [mm] S_{5} [/mm] injektiv ist." Wenn G = [mm] S_{5}, [/mm] was passiert dann mit [mm] \Psi? [/mm] Ist die Abbildung dann: [mm] S_{5} \to S_{5} [/mm] oder [mm] S_{5} \to S_{S_{5}}
[/mm]
5) Wie bestimmt man den Kern von [mm] \Psi [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 24.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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