Grenzwertermittlung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Sa 02.07.2011 | | Autor: | maxplace |
| Aufgabe | | [mm] f_1(n)=[/mm] [mm] \bruch{n^3}{\log_2{(n)}^3} [/mm] und [mm] f_2(n)= \wurzel{n}*log_2{(n^2)} [/mm] |
hi forum,
ich brauche wieder eure unterstützung... wir sollen den grenzwert dieser beiden funktionen ermitteln, um das zu erreichen rechnen wir [mm] f_1/f_2. [/mm]
ich habe die funktionen soweit ich konnte vereinfacht aber trotzdem klappt es nicht, ich denke ich muss weiter vereinfachen aber ich komme an dieser stelle nicht weiter:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^3}{\wurzel{n}*\log_2{(n)}^4}:2
[/mm]
es wäre super wenn jemand helfen könnte, ich gebe jetzt schon zu dass ich absolut kein mathe genie bin...
danke
maxplace
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Sa 02.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]f_1(n)=[/mm] [mm]\bruch{n^3}{\log_2{(n)}^3}[/mm] und [mm]f_2(n)= \wurzel{n}*log_2{(n^2)}[/mm]
>
> hi forum,
>
> ich brauche wieder eure unterstützung... wir sollen den
> grenzwert dieser beiden funktionen ermitteln, um das zu
> erreichen rechnen wir [mm]f_1/f_2.[/mm]
Waum das?
Willst du den Grenzwert von [mm] f_{1} [/mm] haben, solltest du auch nur mit dieser Funktion rechnen.
Dazu forme um:
[mm]f_1(n)=\bruch{n^3}{\log_2{(n)}^3}[/mm]
[mm]=\left(\bruch{n}{\log_2{(n)}}\right)^{3}[/mm]
Da [mm] log_{2}(n)
[mm] \lim_{n\to\infty}f_{1}(n)=\ldots
[/mm]
>
> ich habe die funktionen soweit ich konnte vereinfacht aber
> trotzdem klappt es nicht, ich denke ich muss weiter
> vereinfachen aber ich komme an dieser stelle nicht weiter:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^3}{\wurzel{n}*\log_2{(n)}^4}:2[/mm]
>
> es wäre super wenn jemand helfen könnte, ich gebe jetzt
> schon zu dass ich absolut kein mathe genie bin...
>
> danke
>
> maxplace
Bevor ich dir jetzt aber auch noch Tipps für [mm] f_{2} [/mm] gebe, stelle erstmal die genaue Aufgabenstellung hier ein, ich habe jetz mal angenommen, dass [mm] n\in\IN [/mm] und dass du [mm] \lim_{n\to\infty}f_{i}(x) [/mm] bestimmen sollt.
Oder sollt ihr die Grenzwerte an den Definitionslücken auch bestimmen?
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Sa 02.07.2011 | | Autor: | maxplace |
Ich kann es nur leihenhaft erklären, da es eigentlich nicht mein Spezialgebiet ist :/
Es geht um die Komplexität von Algorithmen.
Dabei sollen wir ermitteln inwieweit die eine Funktion schneller wächst als die andere, bzw. ob es eine obere Schranke gibt. Wenn der Grenzwert der beiden Funktionen eine Konstante ergibt, ist [mm] f_1 [/mm] in der Ordnung von [mm] f_2 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] in der Ordnung von [mm] f_1, [/mm] wenn 0 dann ist [mm] f_1 [/mm] in der Ordnung von [mm] f_2, [/mm] d.h. [mm] f_2 [/mm] wächst schneller, wenn [mm] \infty [/mm] dann wächst [mm] f_1 [/mm] nicht schneller als [mm] f_2.
[/mm]
Ich habe [mm] f_1 [/mm] schon soweit vereinfacht, habe dabei das gleiche ergebnis wie du, der Grenzwert von [mm] f_1 [/mm] geht gegen [mm] \infty [/mm] allerdings muss ich um die Komplexität beider Funktionen zu bestimmen [mm] \bruch{f_1}{f_2} [/mm] rechnen.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{n^3}{log_2(n)^3}}{\wurzel{n}*\log_2(n^2)}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^3}{\log_2(n)^3}*\bruch{1}{\wurzel{n}*\log_2(n^2)}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^3}{\log_2(n)^3*\wurzel{n}*2*\log_2(n)}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^3}{\wurzel{n}*\log_2(n)^4}:2
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Sa 02.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das sieht soweit gut aus, ich würde aber wie folgt umformen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^3}{\log_2(n)^3}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{n}\cdot{}\log_2(n^2)} [/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^3}{\log_2(n)^3\cdot\wurzel{n}\cdot{}\log_2(n^2)} [/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^3}{\sqrt{n}\cdot\left(\log_2(n)\right)^3\cdot2\log_2(n)} [/mm]
$ [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^3}{n^{\frac{1}{2}}\cdot2\cdot\left(\log_{2}(n)\right)^{4}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^3\cdot n^{-\frac{1}{2}}}{2\cdot\left(\log_{2}(n)\right)^{4}}[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\cdot\bruch{n^{3-0,5}}{\left(\log_{2}(n)\right)^{4}}[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\cdot\bruch{n^{\frac{5}{2}}}{\left(\log_{2}(n)\right)^{4}}[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\cdot\bruch{n^{\frac{20}{8}}}{\left(\log_{2}(n)\right)^{4}}[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\cdot\bruch{n^{4\cdot\frac{5}{8}}}{\left(\log_{2}(n)\right)^{4}}[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\cdot\bruch{\left(n^{\frac{5}{8}}\right)^{4}}{\left(\log_{2}(n)\right)^{4}}[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\cdot\left(\bruch{n^{\frac{5}{8}}}{\log_{2}(n)}\right)^{4}[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\sqrt[8]{n^{5}}}{\log_{2}(n)}\right)^{4}[/mm]
Marius
|
|
|
|
