Grenzwerte von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für gegebene Folgen {an} und {bn} gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (2an + bn) =3
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (an-bn)=1
n->oo
Zeigen Sie daß {an} und {bn} Grenzwerte besitzen und Ermitteln Sie diese. |
Hallo,
wir behandel grade das Thema Folgen und Grenzwerte und haben die oben genannte aufgabe gestellt bekommen.
Ich weis nun nicht wie ich an die Aufgabe ran gehen soll bzw. finde kein Anfang ! Könntet Ihr mir helfen ?
Danke schonmal im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Sieht nicht so schwierig aus. Ich such mal nach einer Falle:
Wenn zwei Folgen [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] beide konvergent sind, dann gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n\pm b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n \pm\limes_{n\rightarrow\infty}b_n
[/mm]
Soweit das Vorwort. Nun Deine Aufgabe:
> Für gegebene Folgen {an} und {bn} gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (2an + bn)= 3
> und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (an-bn)=1
>
> Zeigen Sie daß {an} und {bn} Grenzwerte besitzen und
> Ermitteln Sie diese.
Fallunterscheidung:
1) [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] sind konvergent gegen die Grenzwerte a und b. Dann gilt hier:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(2a_n+b_n)=2*\limes_{n\rightarrow\infty}a_n+\limes_{n\rightarrow\infty}b_n=2a+b=3
[/mm]
[mm] \wedge\ \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n-\limes_{n\rightarrow\infty}b_n=a-b=1
[/mm]
Es bleibt ein einfaches LGS mit der Lösung [mm] a=\bruch{4}{3}, b=\bruch{1}{3}.
[/mm]
2) [mm] a_n [/mm] sei konvergent gegen a, [mm] b_n [/mm] strebe gegen [mm] \pm\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(2a_n+b_n)=\pm\infty,\ \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)=\mp\infty
[/mm]
3) [mm] b_n [/mm] konvergent gegen b, [mm] a_n [/mm] gegen [mm] \pm\infty
[/mm]
Im Prinzip wie Fall 2)
4) [mm] a_n [/mm] gegen [mm] \pm\infty, b_n [/mm] gegen [mm] \pm\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(2a_n+b_n)=\pm\infty,\ \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)=\text{wer weiß}
[/mm]
5) [mm] a_n [/mm] gegen [mm] \pm\infty, b_n [/mm] gegen [mm] \mp\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(2a_n+b_n)=\text{wer weiß},\ \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n-b_n)=\pm\infty
[/mm]
Tja. Da bleibt wohl nur Fall 1. Wenn Du das jetzt noch in einen netten Widerspruchsbeweis gießt, der weniger Fallunterscheidungen hat, dann bist Du fertig.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Widerspruchsbeweis für
> $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ (2an + bn)= 3
> und
> $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ (an-bn)=1
|
Hallo,
also wie ich auf die Grenzwerte komme ist mir jetzt klar! Gar nicht so schwer wie ich dachte! muß ich jetzt bei den widerspruchsbeweis zeigen das
(2an+bn)<=(an-bn) ist ? also folgt das (2an+bn)>(an-bn) ist ?
Ist das der Ansatz ?
Die Vorlesung hat mich ganz schön verwirrt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Sa 13.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich glaub nicht, dass du den Widerspruchsbeweis brauchst. Sieh den post von abakus.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Sa 13.12.2008 | | Autor: | abakus |
> Für gegebene Folgen {an} und {bn} gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (2an + bn) =3
> und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (an-bn)=1
> n->oo
> Zeigen Sie daß {an} und {bn} Grenzwerte besitzen und
> Ermitteln Sie diese.
Wir definieren einfach zwei neue Folgen [mm] c_n=(2an [/mm] + bn) und [mm] d_n=(an-bn).
[/mm]
Da diese beiden Folgen mit den Grenzwerten 3 bzw. 1 konvergieren, gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(c_n+d_n)=3+1=4.
[/mm]
Es ist aber [mm] c_n+d_n=4a_n, [/mm] also gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 4a_n=3. [/mm] Die Folge [mm] a_n [/mm] besitzt also einen Grenzwert, nämlich 0,75.
Gruß Abakus
> Hallo,
> wir behandel grade das Thema Folgen und Grenzwerte und
> haben die oben genannte aufgabe gestellt bekommen.
> Ich weis nun nicht wie ich an die Aufgabe ran gehen soll
> bzw. finde kein Anfang ! Könntet Ihr mir helfen ?
>
> Danke schonmal im voraus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 So 14.12.2008 | | Autor: | madeye |
heisst das dann dass ich so gezeigt habe, dass an einen grenzwert besitzt? ich koennte mir vorstellen dass ich somit den grenzwert nur ermittelt habe, aber nicht gezeigt habe dass die folge wirklich einen grenzwert hat. muss ich denn jetzt hier noch irgendwas anderes anfuehren, oder reicht das als gezeigt???
ausserdem glaube ich muss es heissen: [mm] c_n+d_n=3a_n [/mm] => [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 3a_n [/mm] = 4 was heissen wuerde dass der grenzwert dann [mm] \bruch{4}{3} [/mm] waer.
oder lieg ich jetzt falsch?? :/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 So 14.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn ihr schon bewiesen habt, dass aus der Existenz der Einzelnen GW der GW der Summe existiert und = der Summe der GW ist. bist du mit abakus Ansatz fertig.
sonst wähl einfach ein [mm] N_0 [/mm] so gross, dass beide Teile [mm] <\epsilon/2 [/mm] sind und du hast den GW direkt gezeigt. Den Widerspruchsbeweis würd ich auf jeden Fall nicht machen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 So 14.12.2008 | | Autor: | madeye |
und wie mach ich das, wenn ich doch weder fuer [mm] a_n [/mm] noch [mm] b_n [/mm] keine wirkliche gleichung angegeben hab???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 So 14.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch den GW von [mm] c_n [/mm] und [mm] d_n [/mm] ? ich versteh deine frage nicht, wenn du den piost von Abakus gründlich gelesen hast.
Gruss leduart
|
|
|
|
