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Hallo Zusammen,
Im Buch von Forster §4 Seite 32 Satz 4 steht:
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Quotient konvergenter Folgen:
Seien [mm]\left(a_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] und [mm]\left(b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit [mm]\lim{b_n}=:b\ne 0[/mm]. Dann gibt es ein [mm]n_0\in\mathbb{N}[/mm], so daß [mm]b_n\ne 0[/mm] für alle [mm]n\ge n_0[/mm] und die Quotientenfolge [mm]\left(a_n/b_n\right)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] konvergiert. Für ihren Grenzwert gilt
[mm]\lim_{n\to\infty}{\frac{a_n}{b_n}}=\frac{\lim{a_n}}{\lim{b_n}}.[/mm]
"""
Den Beweis dazu verstehe ich teilweise nicht so ganz
"""
Beweis:
Wir behandeln zunächst den Spezialfall, daß [mm]\left(a_n\right)[/mm] die konstante Folge [mm]a_n=1[/mm] ist. Da [mm]b\ne 0[/mm], ist [mm]\tfrac{\left|b\right|}{2}>0[/mm]. Es gibt also ein [mm]n_0\in\mathbb{N}[/mm] mit
[mm]\left|b_n-b\right| < \frac{\left|b\right|}{2}\quad\forall n\ge n_0.[/mm]
(*) Daraus folgt [mm]\left|b_n\right| \ge \tfrac{\left|b\right|}{2}[/mm], insbesondere [mm]b_n\ne 0[/mm] für [mm]n\ge n_0[/mm].
Zu vorgegebenem [mm]\epsilon > 0[/mm] gibt es ein [mm]N_1 \in \mathbb{N}[/mm], so daß
[mm]\left|b_n-b\right| < \frac{\epsilon\left|b\right|^2}{2}\quad\forall n\ge N_1.[/mm]
Dann gilt für [mm]n\ge N:=\max\left(n_0,N_1\right)[/mm]
[mm]\left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\right|=\frac{1}{\left|b_n\right|\left|b\right|}\cdot{\left|b-b_n\right|}<\textcolor{red}{\frac{2}{\left|b\right|}}\cdot{}\frac{1}{\left|b\right|}\cdot{}\frac{\epsilon\left|b\right|^2}{2}=\epsilon.[/mm]
Damit ist [mm]\lim\left(1/b_n\right)=1/b[/mm] gezeigt.
"""
Wieso gilt der Satz bei (*)? Ich denke nämlich, der rot markierte Term resultiert aus (*). Ich müßte also nur (*) nachvollziehen. Den Rest des Beweises habe ich, denke ich, soweit nachvollzogen.
Danke für die Hilfe!
Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Karl,
> (*) Daraus folgt [mm]\left|b_n\right| \ge \tfrac{\left|b\right|}{2}[/mm],
> insbesondere [mm]b_n\ne 0[/mm] für [mm]n\ge n_0[/mm].
> ...
> ...
> ...
> Wieso gilt der Satz bei (*)? Ich denke nämlich, der rot
> markierte Term resultiert aus (*). Ich müßte also nur (*)
> nachvollziehen. Den Rest des Beweises habe ich, denke ich,
> soweit nachvollzogen.
nach Voraussetzung gilt [mm] $b_n \to [/mm] b$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] mit $b [mm] \not=0$, [/mm] was in einer trivialen Weise wegen der Stetigkeit von $x [mm] \mapsto [/mm] |x|$ zur Folge hat, dass [mm] $|b_n| \to [/mm] |b|$ bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] mit $|b| > 0$. Damit gibt es insbesondere zu [mm] $\varepsilon:=\frac{|b|}{2} [/mm] > 0$ ein [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt
[mm] $||b_n|-|b||\le \varepsilon=\frac{|b|}{2}$
[/mm]
Wegen [mm] $|b|-|b_n| \le ||b|-|b_n||=||b_n|-|b||$ [/mm] folgt dann [mm] $|b|-|b_n| \le \frac{|b|}{2}$, [/mm] was
[mm] $|b_n| \ge \frac{|b|}{2} [/mm] > 0$ für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] zur Folge hat. Und wegen $|r|=0 [mm] \gdw [/mm] r=0$ folgt, dass [mm] $b_n \not=0$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0$.
[/mm]
Alternativ (ohne Stetigkeit der Betragsfunktion):
Gelte [mm] $b_n \to [/mm] b$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] mit [mm] $b\not=0$.
[/mm]
Dann gibt es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $n_0 \in \IN$, [/mm] so dass [mm] $|b_n-b| \le \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0$.
[/mm]
Zudem gilt:
[mm] $|b_n-b| \le \varepsilon \gdw b_n \in [b-\varepsilon,b+\varepsilon]$
[/mm]
Nun gilt ja nach Voraussetzung $b [mm] \not=0$ [/mm] und damit $|b| > 0$, daher:
Ist $0 < [mm] \varepsilon [/mm] < |b|$, so gilt $0 [mm] \notin [b-\varepsilon,b+\varepsilon]$, [/mm] denn:
$0 [mm] \in [b-\varepsilon,b+\varepsilon]$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] |0-b| [mm] \le \varepsilon$
[/mm]
D.h. wähle z.B. $0 < [mm] \varepsilon:=\frac{|b|}{2} [/mm] < |b|$, und für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] gilt dann [mm] $b_n \in I:=\left[b-\frac{|b|}{2},b+\frac{|b|}{2}\right]$, [/mm] aber wegen $0 [mm] \notin [/mm] I$ folgt dann [mm] $b_n \not=0$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0$.
[/mm]
P.S.:
Ein Tipp:
Skizziere Dir das ganze doch mal am Zahlenstrahl, indem Du [mm] $b_n \to [/mm] b$ betrachtest durch Fallunterscheidungen:
1. Fall: $b > 0$. Lege eine (beidseitig offene oder, nach meinem Vorschlag oben: beideseitig abgeschlossene) [mm] $\frac{|b|}{2}=\frac{b}{2}$-Umgebung [/mm] um $b$.
2. Fall: $b < 0$. Lege eine (beidseitig offene oder, nach meinem Vorschlag oben: beideseitig abgeschlossene) [mm] $\frac{|b|}{2}$-Umgebung [/mm] um $b$.
In jedem Fall solltest Du erkennen:
Ab einem [mm] $n_0$ [/mm] fallen alle [mm] $b_n$ [/mm] in diese Umgebung, und diese Umgebung enthält die $0$ nicht.
P.S.:
Die oben benutzte Ungleichung $|r|-|s| [mm] \le [/mm] |r-s|$ ergibt sich aus der Dreiecksungleichung, denn:
$|r|=|r-s+s| [mm] \le [/mm] |r-s|+|s| [mm] \Rightarrow [/mm] |r|-|s| [mm] \le [/mm] |r-s|$
Oben habe ich sie z.B. mit [mm] $r=|b_n|$ [/mm] und $s=|b|$ angewendet (beachte dabei: ||x||=|x|, es ist also "unnötig", den Betrag "mehrmals" anzuwenden, also anstatt $||x||$, was der Betrag von $|x|$ ist, kann man direkt $|x|$ schreiben).
P.P.S.:
Bei der Ungleichung mit der roten Schrift wurde in der Tat auch benutzt, dass [mm] $|b_n| \ge \frac{|b|}{2}$ [/mm] ab einem [mm] $n_0$. [/mm] Diese Aussage steht ja oben insbesondere mit drin!
(Man hätte aber übrigens genausogut den ganzen Beweis mit [mm] $|b_n| \ge \frac{|b|}{10}$ [/mm] oder [mm] $|b_n| \ge \frac{9|b|}{10}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] ab einem [mm] $n_0$ [/mm] führen können.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:53 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Marcel,
Danke für die Hilfe, ich hab's jetzt verstanden!
> Wegen [mm]|b|-|b_n| \le ||b|-|b_n||=||b_n|-|b||[/mm]
Irgendwie hatte ich übersehen, daß [mm]\left|c-d\right|=\left|d-c\right|[/mm] gilt. Damit ist nun auch (*) klar.
Liebe Grüße
Karl
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