Grenzwerte von Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Untersuchen sie das Grenzverhalten der Folge: [mm] a_n=\bruch{c^n-n^\alpha}{c^n+n^\alpha}
[/mm]
in Abhängigkeit von c [mm] \in \IR [/mm] + und [mm] \alpha \in \IR. [/mm] |
| Aufgabe 2 | Es sei q [mm] \in \IR+. [/mm] Berechnen Sie den Grenzwert der Folge
[mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel[n]{n+q^n} [/mm]
(n [mm] \ge [/mm] 1) |
| Aufgabe 3 | Es sei [mm] (a_n) [/mm] eine positive Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = q. Zeigen sie, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls } q \mbox{ <1 } \\\infty , & \mbox{falls } q \mbox{ >1} \end{cases}
[/mm]
und dass im Fall q= keine allgemeine Aussage möglich ist. |
Mein Problem bei der ersten Aufgabe ist, dass es meiner Meinnung nach mindestens 11 Fälle gibt. Die alle einzeln zu behandeln, kann aber nicht der Sinn der Aufgabe sein, glaube ich.
Bei der zweiten Aufgabe
weiß ich, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = q, habe aber ein Problem, das zu beweisen.
Bei der dritten Aufgabe liegt das Problem beim Fall q=1, habe schon verschiedenes probiert, weiß aber trotzdem überhaupt nicht, wei ich anfangen soll.
Ich bitte bei allen Aufgaben lediglich um Tipps, bzw. den ersten Schritt. Auf den Rest werde ich dann hoffentlich selber kommen.
Vielen Dank schon mal, ich weiß es ist viel, lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 So 18.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo sara
> Untersuchen sie das Grenzverhalten der Folge:
> [mm]a_n=\bruch{c^n-n^\alpha}{c^n+n^\alpha}[/mm]
> in Abhängigkeit von c [mm]\in \IR[/mm] + und [mm]\alpha \in \IR.[/mm]
> Es
> sei q [mm]\in \IR+.[/mm] Berechnen Sie den Grenzwert der Folge
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\wurzel[n]{n+q^n}[/mm]
> (n [mm]\ge[/mm] 1)
> Es sei [mm](a_n)[/mm] eine positive Folge mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_n+1}{a_n}[/mm] = q. Zeigen
> sie, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{falls } q \mbox{ <1 } \\\infty , & \mbox{falls } q \mbox{ >1} \end{cases}[/mm]
>
> und dass im Fall q= keine allgemeine Aussage möglich ist.
> Mein Problem bei der ersten Aufgabe ist, dass es meiner
> Meinnung nach mindestens 11 Fälle gibt. Die alle einzeln zu
> behandeln, kann aber nicht der Sinn der Aufgabe sein,
> glaube ich.
Ich kann keine 11 Fälle sehen. Ich würde im Zähler [mm] +n^{\alpha}-2n^{\alpha} [/mm] umschreiben und dann [mm] a_{n}=1-\bruch{2}{1+c^{n}/n^{\alpha}} [/mm] schrieben , dann muss man nur noch [mm] c^{n}/n^{\alpha} [/mm] für den lim betrachten.
> Bei der zweiten Aufgabe
> weiß ich, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = q, habe
> aber ein Problem, das zu beweisen.
Kannst du auch nicht, denn es ist für q [mm] \le [/mm] 1 falsch da ist lim ..=1
sonst ähnlich wie bei [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] vorgehen Beweise dass [mm] \wurzel[n]{n+q^n}-q [/mm] eine Nullfolge ist
> Bei der dritten Aufgabe liegt das Problem beim Fall q=1,
> habe schon verschiedenes probiert, weiß aber trotzdem
> überhaupt nicht, wei ich anfangen soll.
hier musst du einfach etwa drei versch. Folgen nehmen, alle mit q =1 und ganz verschiedenem verhalten: 1. an=1 2. an=n 3, an=1/n oder ähnliche.
Gruss leduart
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Bei der Aufgabe 1 habe ich immer noch das gleiche Problem:
Was passiert, wenn c=1, 0<c<1, c>1 und [mm] \alpha [/mm] =0, [mm] \alpha<0, \alpha [/mm] >0?
Wenn ich alle Fälle kombiniere und bei zweien dann noch unterscheide, ob [mm] \alpha>c [/mm] oder [mm] \alpha
Aufgabe 2 muss ich mir noch gründlicher ansehen, bin aber bis jetzt auf keine Beweisidee gekommen.
Bei der dritten Aufgabe tut es mir leid, da habe ich mich verschrieben. Es sollte heißen: Das + 1 bei [mm] a_n+1 [/mm] sollte auch noch tiefgetellt sein. sorry!
Danke jedenfalls für die Tipps und entschuldige, dass ich so begriffsstutzig bin, aber ich bin im ersten Semester und das sind meine ersten Grenzwertaufgaben.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 So 18.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo sara
Die Fallunterscheidungen musst du wohl machen, c=0, c<1 c>1 und dabei dann als Unterfälle die 3 Möglichkeiten für [mm] \alpha. [/mm] Aber das ist, wenn du meine vereinfachte Form hinschreibst ja relativ schnell. das [mm] a_{n+1} [/mm] hab ich automatisch richtig gelesen. Da bleiben für q=1 nur die Beispiele! allgemeiner kann man nix sagen!
Grusss leduart
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Hey vielen lieben Dank, dann werd ich das dann mal machen.
Ich bin nur leider immer noch nicht draufgekommen, wie ich die zweite Aufgabe umformen/abschätzen , sprich beweisen soll.
Ein Tipp vielleicht noch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 So 18.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo sara
siehe hier
und nimm [mm] (q+en)^{n} [/mm] und beim Abschätzen benutz für q>1 [mm] q^{n-2}>1 [/mm] also beim vergrößern weglassen, nur hier nicht [mm] q^{n} [/mm] weglassen, aber den Term mit n*q*en
Ich hoff, das reicht als Tip
Gruss leduart
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