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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:30 Di 14.03.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht genau gestellt)
Hey Leute, ich sehe immer wieder öfters in Büchern und im Netz so sachen wie zB:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}log(x) [/mm] = [mm] \limes_{y\rightarrow\infty}log(\bruch1y)
[/mm]
(wobei hier x>0 sein soll, also [mm] x\to\infty [/mm] von oben)
kann mir vielleicht einer sagen, warum man das so sagen darf und wie der Beweis dazu aussieht, dass sowas gilt?
Hat vielleicht jemand auch die allgemeine Formulierung des Satzes(am besten mit Beweis), der diesen Zusammenhang begründet?
Wäre nett, wenn mir da einer weiterhelfen könnte
Gruß Ari
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Hallo Ari!
Wende auf den rechten Term eines der  Logarithmusgesetze an:
[mm] $\log\left(\bruch{1}{y}\right) [/mm] \ = \ [mm] \log(1)-\log(y) [/mm] \ = \ [mm] 0-\log(y) [/mm] \ = \ [mm] -\log(y)$
[/mm]
Und nun mal auf beiden Seiten der Gleichung (also Deine Gleichung) die entsprechenden Grenzwertbetrachtungen durchführen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Di 14.03.2006 | | Autor: | AriR |
jo danke, dann ist das für diesen fall relativ klar nur ist das auch allgemeingültig?
also könnte in fällen wo [mm] x\to0 [/mm] auftaucht den teil gegen [mm] \bruch1n [/mm] ersetzen wenn ich n dann gegen [mm] \infty [/mm] laufen lasse?
nein oder?
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Hallo Ari,
sicher könnte man das tun, wenn es der Sache dient! Es ist dasselbe, wenn ich sage
x mit [mm] x\to0 [/mm] oder
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] mit [mm] x\to\infty
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Di 14.03.2006 | | Autor: | AriR |
muss man sowas irgendwie beweisen oder so, falls man das verwenden sollte? könnte man dann nicht probleme bekommen, weil zB eine Folge schneller gegen 0 geht als die andere?
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Hallo Ari,
Deine Frage lautet also:
Gilt allgemein [mm] \lim_{x\to 0, x>0} f(x)\:\: =\:\:\lim_{y\to\infty} f(1\slash y)\:\:\: [/mm] ?
Antwort: Ja, und man kann es auch beweisen.
Fall 1: [mm] \lim_{x\to 0,x>0}f(x)= L\in\IR [/mm] existiert.
Das heisst doch per definitionem von Konvergenz von Funktionen, dass
fuer jede gegen 0 konvergente Folge [mm] x_n,n\in\IN [/mm] von reellen positiven Zahlen
die Folge [mm] (f(x_n))_{n} [/mm] gegen L konvergiert. [mm] \:\:\: (\star)
[/mm]
Beh. Dann gilt [mm] \lim_{y\to\infty} f(1\slash y)\:\: [/mm] =L, d.h.
wiederum per definitionem von Konvergenz von Funktionen:
Fuer jede Folge reeller Zahlen [mm] (y_n) [/mm] mit [mm] \lim_{n\to\infty}y_n=\infty [/mm] gilt
[mm] \lim_{n\to\infty}f(1\slash y_n)=L
[/mm]
Aber wenn [mm] \lim_{n\to\infty}y_n=\infty, [/mm] so gilt doch [mm] \lim_{n\to \infty}\frac{1}{y_n}\:\: =\: [/mm] 0.
Das setzt Du dann in [mm] (\star [/mm] ) ein und erhältst Konvergenz gegen L
Fall 2: [mm] \lim_{x\to 0,x>0}f(x)=\infty
[/mm]
Fall 3: [mm] \lim_{x\to 0,x>0}f(x)=-\infty
[/mm]
Bleiben Dir zur Übung überlassen, wende halt die Definition der Konvergenz/Divergenz von Funktionen
an.
Viele Gruesse,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Sa 18.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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