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Hello Leute,
und zwar wie bestimme ich für die Folgen die Grenzwerte???
a.)
[mm] x_n = \left( 1 + \bruch{1}{n} \right)^{100} [/mm]
b.)
[mm] x_n = \left( \bruch{9}{10} \right)^n [/mm]
Und nun die letzte Frage:
"Eine konvergente Folge kommt ihrem Grenzwert beliebig nahe, kann ihn aber niemals erreichen." Ist die Aussage richtig? Warum u. Wieso?
Wäre um ne Antwort sehr dankbar...
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
LG irontiger
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Die erste Folge konvergiert gegen 1. Dies kann man, wie ich denke, folgendermaßen beweisen: Die "innere" Folge, [mm] 1+\bruch{1}{n}, [/mm] konvergiert gegen 1. Und die äußere Funktion, "hoch 100", ist stetig, also kann man den Grenzwert in diese Funktion "hineinziehen":
[mm] \limes_{n \to \infty}(1+\bruch{1}{n})^{100}=(\limes_{n \to \infty}(1+\bruch{1}{n}))^{100}=1^{100}=1
[/mm]
Für die zweite Folge gilt: Ist [mm] q\in \IC, [/mm] so gilt:
[mm] \left| q \right|<1 \rightarrow \limes_{n \to \infty}(q^n)=0
[/mm]
[mm] \left| q \right|\ge1 \rightarrow \limes_{n \to \infty}(q^n) [/mm] existiert nicht
Dass eine konvergente Folge ihrem Grenzwert beliebig nahe kommt, stimmt, aber sie darf ihn auch (beliebig oft) annehmen (muss aber nicht). Die Definition verlangt nur, dass sie "beliebig nahe am Grenzwert bleibt".
Hoffe das hat geholfen.
mfG,
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 So 05.09.2004 | | Autor: | irontiger |
hallo matthias,
danke für deine schnelle antwort, hast mir wirklich weitergeholfen...
auf die erste folge hätte ich eigentlich auch alleine drauf kommen können und die zweite lösung muss ich mir noch genauer studieren...
dankeschön
lg georg
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