Grenzwerte bestimmen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 Mi 02.12.2009 | | Autor: | aksu |
| Aufgabe | Aufgabe 8.2 Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
(a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2-4n+5}{4n^2-9}
[/mm]
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ich habe folgendes gerechnet:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2-4n+5}{4n^2-9} [/mm] mit [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] erweitert
=
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{n^2}{n^2}-\bruch{4n}{n^2}+\bruch{5}{n^2}}{\bruch{4n^2}{n^2}-\bruch{9}{n^2}} [/mm]
=
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\bruch{4}{n}+\bruch{5}{n^2}}{4-\bruch{9}{n^2}} [/mm]
=
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-0-0}{4-0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm]
ist diese lösung korrekt?
ich bin mir nicht sicher, weil ich das schon lange nicht mehr gemacht habe.
ich habe diese frage in keinem forum auf anderen internetseiten gestellt.
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Hallo aksu,
Du untersuchst $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] =a $ und deine Folge lautet $\ [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] = [mm] \bruch{n^2-4n+5}{4n^2-9} [/mm] $. Du möchtest nun den Grenzwert $\ a $ bestimmen.
Jetzt mal ohne den Limes, lässt sich die Folge $\ [mm] \bruch{n^2-4n+5}{4n^2-9} [/mm] $ auch schreiben als $\ [mm] \bruch{n^2(1-\frac{4}{n}+\frac{5}{n^2})}{n^2(4-\frac{9}{n^2})} [/mm] $
Warum wir hier das $\ [mm] n^2 [/mm] $ einfach rauskürzen dürfen liegt daran, dass:
$\ [mm] \bruch{n^2(1-\frac{4}{n}+\frac{5}{n^2})}{n^2(4-\frac{9}{n^2})} \gdw \frac{n^2}{n^2} [/mm] * [mm] \bruch{(1-\frac{4}{n}+\frac{5}{n^2})}{(4-\frac{9}{n^2})} \gdw [/mm] 1 * [mm] \bruch{(1-\frac{4}{n}+\frac{5}{n^2})}{(4-\frac{9}{n^2})} \gdw \bruch{(1-\frac{4}{n}+\frac{5}{n^2})}{(4-\frac{9}{n^2})}$ [/mm]
Dast ist alles äquivalent zueinander und der letzte Term ist für unsere Zwecke durchaus sinnvoller, denn so vermeiden wir bei der Grenzwertbetrachtung für $\ n [mm] \to \infty [/mm] $ unbestimmte Ausdrücke wie z.b.:
$\ [mm] \frac{\infty}{\infty} [/mm] $ oder $\ [mm] \frac{\infty}{2} [/mm] $ oder sogar schlimmeres 
Betrachten wir also $\ [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{(1-\frac{4}{n}+\frac{5}{n^2})}{(4-\frac{9}{n^2})} [/mm] $ so handelt es sich nach den Grenzwertsätzen tatsächlich um das hier:
$\ [mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{(1-\frac{4}{n}+\frac{5}{n^2})}{(4-\frac{9}{n^2})} \gdw \bruch{\limes_{n \to \infty}(1-\frac{4}{n}+\frac{5}{n^2})}{\limes_{n \to \infty}(4-\frac{9}{n^2})} \gdw \frac{\ \limes_{n \to \infty} 1 - \limes_{n \to \infty} \frac{4}{n} + \limes_{n \to \infty} \frac{5}{n^2}}{\limes_{n \to \infty}4 - \limes_{n \to \infty} \frac{9}{n^2}} [/mm] $
Das dürfen wir, da es sich um lauter konvergente Folgen handelt, denn:
$\ [mm] \limes_{n \to \infty} [/mm] 1 = 1 $
$\ [mm] \limes_{n \to \infty} \frac{4}{n} [/mm] $
$\ [mm] \limes_{n \to \infty} \frac{5}{n^2} [/mm] = 0 $
$\ [mm] \limes_{n \to \infty}4 [/mm] = 4 $
$\ [mm] \limes_{n \to \infty} \frac{9}{n^2} [/mm] = 0 $
$\ [mm] \Rightarrow \limes_{n \to \infty} \bruch{(1-\frac{4}{n}+\frac{5}{n^2})}{(4-\frac{9}{n^2})} [/mm] = [mm] \bruch{1-0+0}{4-0} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} [/mm] $
Hoffe, dass dir das hilft!
Viele Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Mi 02.12.2009 | | Autor: | aksu |
danke für die ausführliche erklärung, aber es ging mir lediglich nur um das ausklammern.
ich habe es mittlerweile selbst herausgefunden, wie man das hier zum beispiel ausklammert [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]4n^2-9[/mm] könnte man auch so schreiben [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]4n^2-9\bruch{n^2}{n^2}[/mm] und dann ausklammern.
= [mm]n^2(4-\bruch{9}{n^2})[/mm]
bei mir ist alles irgendwie verrostet, merke ich gerade.
ich übe einfach mal weiter.
mfg aksu
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