Grenzwerte berechnen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | berechnen sie die Grenzwerte:
[mm] lim_{x->0} ((cos(x)-cos(3x))/x^2)
[/mm]
[mm] lim_{x->0} ((1-cos(x))/x^2)
[/mm]
[mm] lim_{x->\pi/2} [/mm] (sin(x))^tan(x) |
Hi,
ich habe mir folgendes überlegt. Ich kann ja den Sin, cos und tan durch 1/2(e^(îx)+/-e^(-ix)) darstellen und das für cos einsetzen.
Ich habe schon versuchet danach den bruch auseinander zu ziehen, aber ich komme ab da eben nicht mehr weiter...
Danke und Grüße,
ben
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Hallo Ben,
bei 1) und 2) verwende die Regel von de l'Hôpital.
Warum darfst du das machen?
Bei 3) schreibe mit [mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$ [/mm] für $a>0$ deinen Ausdruck wie folgt um:
[mm] $\sin(x)^{\tan(x)}=e^{\tan(x)\cdot{}\ln(\sin(x))}$
[/mm]
Wegen der Stetigkeit der e-Funktion gilt [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}e^{f(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}$
[/mm]
Picke dir also den Exponenten [mm] $\tan(x)\cdot{}\ln(\sin(x))$ [/mm] heraus und untersuche seinen GW für [mm] $x\to\frac{\pi}{2}$
[/mm]
Auch hier hilft die Regel von de l'Hôpital, bringe den Exponenten dazu in die nötige Form und prüfe die Voraussetzungen für de l'Hôpital ...
Am Ende das obige Stetigkeitsargument berücksichtigen ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
vielen Dank. ich konnte einfach mit L´Hopital die ersten beiden lösen [mm] GW_1=4 [/mm] und [mm] GW_2=1/2. [/mm]
ich habe jetzt bei 3. genau danach gemacht, wie du geschrieben hast. ich habe mir die Funktion so umgeschrieben:
ln(sin(x))*tan(x)=(lnsin(x)*sin(x))/cos(x).
wenn ich jetzt die limiten der funkt. betrachte bekomme ich 0/0. Die erste Ableitung bildend, bekomme ich dann für f(x):=sin(x)*ln(sin(x)) und g(x):= cos(x):
f´(x)=cos(x)*ln(sin(x)=+cosx und g´(x)=-sinx.
Nun ist aber der Limes von f´(x)=0 und der von g´(x)=-1. Der Limes der Gesamtfunktion soll aber 1 sein. was sol ich machen, nochmal ableiten bringt ja auch nichts...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peano!
Du musst $f(x) \ = \ [mm] \sin(x)*\ln\left[\sin(x)\right]$ [/mm] mittels  Produktregel ableiten.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peano!
> ich konnte einfach mit L´Hopital die ersten beiden lösen
> [mm]GW_1=4[/mm] und [mm]GW_2=1/2.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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Hallo nochmal,
> ich habe jetzt bei 3. genau danach gemacht, wie du
> geschrieben hast. ich habe mir die Funktion so
> umgeschrieben:
> ln(sin(x))*tan(x)=(lnsin(x)*sin(x))/cos(x).
>
> wenn ich jetzt die limiten der funkt. betrachte bekomme ich
> 0/0. Die erste Ableitung bildend, bekomme ich dann für
> f(x):=sin(x)*ln(sin(x)) und g(x):= cos(x):
>
> f´(x)=cos(x)*ln(sin(x)=+cosx und g´(x)=-sinx.
kleiner (Tipp-)Fehler, da ist ein "=" reingerutscht, ändert aber nichts an deiner Frage, weil der fehlende Summand im Grenzwert auch gegen 0 geht
>
> Nun ist aber der Limes von f´(x)=0
auch der vom "richtigen" $f'(x)$ und der von g´(x)=-1.
> Der Limes der Gesamtfunktion soll aber 1 sein. was sol ich
> machen, nochmal ableiten bringt ja auch nichts...
Ja, damit ist der Grenzwert des Exponenten [mm] $\frac{0}{-1}=\red{0}$
[/mm]
Damit strebt das ganze Ding gegen [mm] $e^{\red{0}}=1$
[/mm]
Ich hatte doch geschrieben, dass du den Exponenten gesondert untersuchen solltest und dann das Stetigkeitsargument der e-Funktion aufgreifen solltest!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Peano08 |
Oh, ja danke!!!
Da war ich ja mal wieder blind...
Das "=" sollte da net sein, stimmt.
Vielen Dankfür eure Hilfe!!
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