Grenzwerte Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Sa 07.05.2011 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Untersuchen sie die Reihen
(a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\wurzel[k]{5} -1)^{k}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}}{k^{3}*3^{k+1}}
[/mm]
auf Konvergenz. |
Man darf nur mit Leibniz - , Wurzel- und Quotientenkriterium die Konvergenz beweisen bzw nachweisen.
Bei (a) hab ich das Wurzelkriterium benutzt und erhalte damit, dass die Folge gegen 0 geht, das ist < 1 also ist die Reihe absolut konvergent.
Für (b) habe ich das Quotientenkriterium benutzt und erhalte dann, dass die Folge gegen 1 geht und damit wäre sie doch divergent oder?
Ich hab hier die Rechenwege weg gelassen, weil sich diese als relativ einfach erweisen.
Also stimmt das oder sollte ich lieber andere Kriterien benutzen?
LG
al3pou
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Moin al3pou,
> Untersuchen sie die Reihen
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> (a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\wurzel[k]{5} -1)^{k}[/mm]
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> (b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}}{k^{3}*3^{k+1}}[/mm]
>
> auf Konvergenz.
> Man darf nur mit Leibniz - , Wurzel- und
> Quotientenkriterium die Konvergenz beweisen bzw
> nachweisen.
> Bei (a) hab ich das Wurzelkriterium benutzt und erhalte
> damit, dass die Folge gegen 0 geht, das ist < 1 also ist
> die Reihe absolut konvergent.
> Für (b) habe ich das Quotientenkriterium benutzt und
> erhalte dann, dass die Folge gegen 1![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") geht und damit wäre
> sie doch divergent oder?
Wenn sie gegen 1 gehen würde, dann lässt sich überhaupt keine Aussage über Konvergenz bzw Divergenz machen. Betrachte für das Quotientenkriterium etwa die Reihe zur Folge [mm] a_n:=1/n [/mm] (divergent) und die Reihe zur Folge [mm] b_n:=1/n^2 [/mm] (konvergent). In beiden Fällen konvergiert die Quotientenfolge gegen 1.
Der Quotient geht aber nicht gegen 1. Rechne nochmal nach!
> Ich hab hier die Rechenwege weg gelassen, weil sich diese
> als relativ einfach erweisen.
> Also stimmt das oder sollte ich lieber andere Kriterien
> benutzen?
>
> LG
> al3pou
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Sa 07.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Okay, ich hab zu (b) nochmal neu gerechnet und komme auf [mm] \bruch{2}{3} [/mm] (k [mm] \to \infty), [/mm] also ist die Reihe konvergent, aber (a) war richtig?
LG
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> Okay, ich hab zu (b) nochmal neu gerechnet und komme auf
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm] (k [mm]\to \infty),[/mm] also ist die Reihe konvergent,
> aber (a) war richtig?
Ja, jetzt ist beides richtig ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> LG
LG
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