Grenzwerte, Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Feli_na |
Hallo!
Ich sitze grade an einer Aufgabe und komme gar nicht weiter.
Es geht mal wieder um das Bestimmen von Grenzwerten. Kann mir das vielleicht jemand anhand dieser Bespiele erklären?
Berechnen sie die Grenzwerte:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^{3n} - e^{n}}{e^{4n}-e^{2n}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] cos ( [mm] \bruch{1}{x^{2}}
[/mm]
Für welche x konvergiert die Reihe?
Z(x)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} e^{nx}
[/mm]
Es wäre echt super, wenn sich jemand die Zeit nehmen würde. Ich würde das nämlich echt gerne endlich mal verstehen.
Danke 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Felina,
> Hallo!
>
> Ich sitze grade an einer Aufgabe und komme gar nicht
> weiter.
> Es geht mal wieder um das Bestimmen von Grenzwerten. Kann
> mir das vielleicht jemand anhand dieser Bespiele
> erklären?
>
> Berechnen sie die Grenzwerte:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^{3n} - e^{n}}{e^{4n}-e^{2n}}[/mm]
Klammere in Zähler und Nenner [mm]e^{3n}[/mm] aus ...
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] cos ( [mm]\bruch{1}{x^{2}}[/mm]
Das ist konstant, da [mm]\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)[/mm] gar nicht von der "Limesvariable" n abhängt ...
Falls du [mm]\lim\limits_{\red x \to\infty}\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)[/mm] meinst, nutze die Stetigkeit der Kosinusfunktion:
Wogegen strebt [mm]1/x^2[/mm], wogegen dann [mm]\cos(1/x^2)[/mm]?
>
>
> Für welche x konvergiert die Reihe?
>
> Z(x)= [mm]\summe_{n=0}^{\infty} e^{nx}[/mm]
Hilft es, wenn ich dir [mm]e^{nx}[/mm] schreibe als [mm]\left(e^x\right)^n[/mm] und dir den Hinweis "geometrische Reihe" gebe?
>
>
> Es wäre echt super, wenn sich jemand die Zeit nehmen
> würde. Ich würde das nämlich echt gerne endlich mal
> verstehen.
>
> Danke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Feli_na |
Danke für die schnelle Antwort!
Also wenn ich bei der 1.Aufgabe [mm] e^{3n} [/mm] ausklammere, steht da dann nicht einfach [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-e^{-2n}}{e^{n}-e^{-n}} [/mm] ? Also was habe ich davon?
Bei der 2. meinte ich [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] das habe ich falsch aufgeschrieben, entschuldige. Ist das dann richtig dass das gegen 1 strebt, weil cos(0) wäre ja 1.
Der Hinweis mit der geometrischen Reihe war gut, das habe ich dann jetzt auch hinbekommen. Auf sowas komme ich irgendwie selber nicht, schon doof.
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Hallo nochmal,
> Danke für die schnelle Antwort!
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> Also wenn ich bei der 1.Aufgabe [mm]e^{3n}[/mm] ausklammere, steht
> da dann nicht einfach [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-e^{-2n}}{e^{n}-e^{-n}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ? Also was habe ich davon?
Na, was sagen die Grenzwertsätze denn?
Das strebt gegen [mm]\frac{1-0}{\infty-0}[/mm] mal lax geschrieben, also?
>
> Bei der 2. meinte ich [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] das habe
> ich falsch aufgeschrieben, entschuldige. Ist das dann
> richtig dass das gegen 1 strebt, weil cos(0) wäre ist ja 1.
>
> Der Hinweis mit der geometrischen Reihe war gut, das habe
> ich dann jetzt auch hinbekommen.
Was hast du denn genau raus?
Wir können ja mal vergleichen ...
> Auf sowas komme ich
> irgendwie selber nicht, schon doof.
Übung macht den Meister/die Meisterin.
Je mehr Aufgaben dieses Typs du verarztest, desto leichter fällt dir das und desto schneller siehst du, was zielführend ist oder sein kann ...
Das wird!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Feli_na |
Hey,
also bei der Frage für welche x die Reihe Z(x) = [mm] \summe_{n=o}^{\infty} e^{nx} [/mm] konvergiert habe ich folgendes gemacht:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (e^{x})^{n} [/mm] ist eine geometrische Reihe und ist konvergent für [mm] |e^{x}| [/mm] < 1 und da ln(1)=0 muss gelten x<0 damit Z(x) konvergiert. Jetzt soll man den Grenzwert bestimmen. das wollte ich dann so machen [mm] \bruch{1}{1-e^{x}} [/mm] aber x kann ja alles sein, was kleiner als 1 ist, deshlab kommt man da doch gar nicht auf einen genauen Wert oder?
Ich habe jetzt noch so ein paar Aufgaben gerechnet. Ich mache jetzt mal ein Beispiel, kannst du mir dann sagen, ob ich das richtig machen?
Also z.B. den Grenzwert bestimmen für [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] ln [mm] (\bruch{x^{2}-1}{x^{2}+4}) [/mm] , das wäre doch dann einfach ln [mm] (\bruch{\infty}{\infty}) [/mm] = ln (1) = 0
ist das richtig? und schreibt man das auch so auf?
Danke :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich bin auf'm Sprung, daher nur kurz:
> Hey,
>
> also bei der Frage für welche x die Reihe Z(x) =
> [mm]\summe_{n=o}^{\infty} e^{nx}[/mm] konvergiert habe ich folgendes
> gemacht:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (e^{x})^{n}[/mm] ist eine geometrische
> Reihe und ist konvergent für [mm]|e^{x}|[/mm] < 1 und da ln(1)=0
> muss gelten x<0 damit Z(x) konvergiert. Jetzt soll man den
> Grenzwert bestimmen. das wollte ich dann so machen
> [mm]\bruch{1}{1-e^{x}}[/mm] aber x kann ja alles sein, was kleiner
> als 1 ist, deshlab kommt man da doch gar nicht auf einen
> genauen Wert oder?
Natürlich. Du setzt ja nicht alle Zahlen $< [mm] 1\,$ [/mm] sein, sondern benutzt [mm] $x\,$
[/mm]
dabei als Platzhalter für irgendeine Zahl $< [mm] 1\,.$ [/mm] Ich meine, Du rechnest
ja auch mit der Funktion [mm] $f\colon [/mm] x [mm] \mapsto \ln(1-x)$ [/mm] als Funktion [mm] $f\colon(-\infty,1) \to \IR$
[/mm]
und schreibst dann [mm] $f(x)=\ln(1-x)\,,$ [/mm] ohne alle $x < 1$ "gleichzeitig" da
reinzuinterpretieren.
Und damit das oben alles nochmal klarer wird:
Die Reihe
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty e^{nx}$$
[/mm]
konvergiert (genau) für alle $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] die [mm] $|e^x| [/mm] < 1$ erfüllen, gegen
[mm] $$\frac{1}{1-e^x}\,,$$
[/mm]
d.h., ist IRGENDEIN [mm] $x\,$ [/mm] gegeben, welches nur [mm] $|e^x| [/mm] < 1$ erfüllt (diese
Voraussetzung wäre zu prüfen), so gilt
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty e^{nx}=\frac{1}{1-e^x}\,.$$
[/mm]
Übrigens ist dies sogar eine genau-dann-wenn-Aussage, was einfach
daran liegt, dass eine geometrische Reihe
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty q^n$$
[/mm]
dann und nur dann konvergiert, wenn $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] gilt (sogar für $q [mm] \in \IC$); [/mm]
und bei Dir gilt halt ($x [mm] \in \IR$)
[/mm]
[mm] $$|e^{x}| [/mm] < 1 [mm] \iff e^x [/mm] < 1 [mm] \iff [/mm] x < [mm] \ln(1)=0\,.$$
[/mm]
Zudem gilt:
Konvergiert [mm] $\sum_{n=0}^\infty q^n$ [/mm] (oder anders gesagt: Falls [mm] $|q|<1\,$ [/mm] gilt), so folgt für den Grenzwert dieser Reihe dann
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\,.$$
[/mm]
Und damit das ganze nochmal deutlicher wird (alles theoretisch gesagte
wird ja meist viel klarer, wenn man das nochmal irgendwie konkreter sieht):
1. Beispiel:
Die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty e^{n*7}$ [/mm] ist divergent.
2. Die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty e^{n*\frac{\,-\,1}{2}}$ [/mm] ist konvergent.
Denn: Es gilt für [mm] $x=\tfrac{-1}{2}$ [/mm] ja offensichtlich $x < [mm] 0\,;$ [/mm] bzw.
[mm] $$e^{-1/2}=1/\sqrt{e} [/mm] < [mm] 1\,.$$
[/mm]
Also - und das hast Du selbst begründet - ergibt sich, dass gilt
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty e^{n*\frac{\,-\,1}{2}}=\frac{1}{1-e^{-1/2}}=\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt{e}}}\,.$$
[/mm]
Wenn Du magst, darfst Du die Zahl ganz rechts auch noch ein wenig weiter
umformen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Mo 07.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey,
>
> also bei der Frage für welche x die Reihe Z(x) =
> [mm]\summe_{n=o}^{\infty} e^{nx}[/mm] konvergiert habe ich folgendes
> gemacht:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (e^{x})^{n}[/mm] ist eine geometrische
> Reihe und ist konvergent für [mm]|e^{x}|[/mm] < 1 und da ln(1)=0
> muss gelten x<0 damit Z(x) konvergiert. Jetzt soll man den
> Grenzwert bestimmen. das wollte ich dann so machen
> [mm]\bruch{1}{1-e^{x}}[/mm] aber x kann ja alles sein, was kleiner
> als 1 ist, deshlab kommt man da doch gar nicht auf einen
> genauen Wert oder?
siehe meine andere Antwort!
> Ich habe jetzt noch so ein paar Aufgaben gerechnet. Ich
> mache jetzt mal ein Beispiel, kannst du mir dann sagen, ob
> ich das richtig machen?
>
> Also z.B. den Grenzwert bestimmen für
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] ln [mm](\bruch{x^{2}-1}{x^{2}+4})[/mm] ,
> das wäre doch dann einfach ln [mm](\bruch{\infty}{\infty})[/mm] =
> ln (1) = 0
> ist das richtig?
Das Ergebnis ist richtig, der Weg dahin ist falsch bis hin zu "pseudo-richtig".
"Pseudo-richtig", weil, wenn man es richtig zu interpretieren weiß, kann
man es dann auch richtig lesen und richtig hinschreiben (das mache ich
unten). Aber das wird eigentlich eh nur den Leuten gelingen, die es
sowieso richtig hinschreiben können; daher ist das ganze so, wie Du es
notiert hast, nicht brauchbar. Da müßtest Du mehr ergänzen, damit man
das einigermaßen als "Lösung" akzeptieren könnte. Daher auch zu der
folgenden Frage:
> und schreibt man das auch so auf?
Auf gar keinen Fall!! Jedenfalls nicht, ohne mehr dazu zu sagen. Denn
alleine schon: Was ist denn [mm] $\infty/\infty$? [/mm] Man könnte ja sagen:
[mm] $$\infty/\infty=\frac{\lim_{n \to \infty} n^2}{\lim_{n \to \infty}n}\,.$$
[/mm]
Ist also [mm] $\infty/\infty=\lim_{n \to \infty} (n^2/n)=\lim_{n \to \infty}n=\infty$?
[/mm]
Nun könnte man aber auch
[mm] $$\infty/\infty=\frac{\lim_{n \to \infty}n}{\lim_{n \to \infty}n}$$
[/mm]
schreiben: Gilt nun [mm] $\infty/\infty=1$?
[/mm]
Ich könnte - wenn ich wollte, so sogar jede Zahl aus [mm] $\IR \cup \{\infty\}$ [/mm] erreichen...
Es hat einen guten Grund, dass man [mm] $\infty/\infty$ [/mm] undefiniert läßt, und
dass Ausdrücke der Art [mm] $\infty/\infty$ [/mm] oder [mm] $\infty-\infty$ [/mm] nicht bei den Rechenregeln
für konvergente Folgen vorkommen (es gibt aber Ausdrücke der Form mit
[mm] $\pm \infty$ [/mm] und einer reellen Zahl: etwa [mm] $r/\infty$ [/mm] für $r [mm] \in \IR$ [/mm] - mit [mm] $r/\infty:=0$ [/mm] - beachte
dabei auch [mm] $\pm \infty \notin \IR$ [/mm] (sogar [mm] $\pm \infty \notin \IC$)).
[/mm]
Aber zu Deiner Aufgabe:
Wie kann man prüfen, ob
[mm] $$\lim_{n \to \infty}\ln\Big(\frac{x^2-1}{x^2+4}\Big)$$
[/mm]
existiert und falls er existiert: Welcher Wert kommt raus?
Nun: Der [mm] $\ln$ [/mm] ist eine stetige Funktion [mm] $(0,\infty) \to \IR\,.$ [/mm] Somit kann
man schreiben
[mm] $$\lim_{n \to \infty}\ln\Big(\frac{x^2-1}{x^2+4}\Big)=\ln\Big(\lim_{n \to \infty}\frac{x^2-1}{x^2+4}\Big)\,,$$
[/mm]
aber nur, wenn man sich zudem davon überzeugt, dass [mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{x^2-1}{x^2+4}$ [/mm] existiert
und dass dann für [mm] $g:=\lim_{n \to \infty}\frac{x^2-1}{x^2+4}$ [/mm] auch $g [mm] \in (0,\infty)$ [/mm] gilt.
Ich denke, Du wirst das nun hinbekommen, [mm] $g=1\,$ ($\in (0,\infty)$) [/mm] zu beweisen und
dann mit obigem die Aufgabe richtig zu lösen.
(P.S.: Unsinnig wäre es z.B., zu behaupten, dass mit der stetigen Funktion
[mm] $$f\colon \IR \to \IR\text{ definiert durch }f(x):=|x| \text{ für alle }x \in \IR$$
[/mm]
sich ergibt, dass [mm] $1=\lim_{n \to \infty}1=\lim_{n \to \infty}|(-1)^n|=\lim_{n \to \infty}f((-1)^n)=f(\lim_{n \to \infty}(-1)^n)=|\lim_{n \to \infty}(-1)^n|$
[/mm]
wäre - das wäre etwa deswegen unsinnig, weil [mm] $\lim_{n \to \infty}(-1)^n$ [/mm] ja gar nicht
existiert!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die schnelle Antwort!
>
> Also wenn ich bei der 1.Aufgabe [mm]e^{3n}[/mm] ausklammere, steht
> da dann nicht einfach [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-e^{-2n}}{e^{n}-e^{-n}}[/mm]
wogegen strebt [mm] $a_n/b_n\,,$ [/mm] wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] beschränkt (hier sogar
konvergent) und [mm] $b_n \to \infty$ [/mm] gilt?
Nebenbei: Du hättest auch [mm] $e^{4n}$ [/mm] (der Term mit dem insgesamt
größten Exponenten) jeweils ausklammern können, denn dann kannst Du
wirklich direkt die Rechenregeln für konvergente Folgen verwenden.
Denn dann sieht man
[mm] $$\bruch{e^{3n} - e^{n}}{e^{4n}-e^{2n}}=\frac{1/e^n-1/e^{3n}}{1-1/e^{2n}}\to \frac{0-0}{1-0}=0/1=0\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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