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Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 Di 29.12.2009
Autor: jboss

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Bestimmen Sie im Falle der Existenz folgende Grenzwerte:
a) $\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{ln(x)}{x}$
b) $\limes_{x\searrow 0} x \cdot ln(x)$
c) $\limes_{x\searrow 0} x^x$
d) $\limes_{x\rightarrow\infty} x^{\bruch{1}{x}}$
c) $\limes_{n\rightarrow\infty} n \cdot (\wurzel[n]{x}-1)$ (für $x>0$)

Hallo Mathefreunde,
ich komme leider bei der obigen Aufgabe nicht recht weiter.
Bei a) würde man ja mit l'Hospital recht schnell zum Ziel kommen.
$\limes_{x\rightarrow \infty} \bruch{ln(x)}{x} = \limes_{x\rightarrow \infty} \bruch{\bruch{1}{x}}{1} = \limes_{x\rightarrow \infty} \bruch{1}{x} \to 0$
Jedoch ist es streng untersagt die Regeln von l'Hospital zur Lösung der Aufgabe zu verwenden.
Weiß daher nicht recht wie ich hier vorgehen soll.

zu b) Ich schätze es ist sicherlich nicht richtig einfach zu wie folgt vorzugehen:
$\limes_{x\searrow 0} x * ln(x) = \limes_{x\searrow 0} x \cdot \limes_{x\searrow 0} ln(x) \to 0 \cdot -\infty = 0$

zu c) Hier habe ich den Ausdruck mit Hilfe der Exponentialfunktion umgeformt. Der letzte Schritt ist möglich, da die Exponentialfunktion stetig ist:
$\limes_{x\searrow 0} x^x = \limes_{x\searrow 0} e^{x \cdot ln(x)}$ = e^{(\limes_{x\searrow 0} x \cdot ln(x))}$
Eine Lösung zu b) würde hier nun zum Ergebnis führen :-)

zu d) Auch hier eine Umformung:
$\limes_{x\rightarrow \infty} x^{\bruch{1}{x}} = \limes_{x\rightarrow \infty} e^{\bruch{1}{x} \cdot ln(x)} = e^{(\limes_{x\rightarrow \infty} \bruch{ln(x)}{x}})}$
Hier wäre nun die Lösung zu a) hilfreich.

zu e) Hier stehe ich leider komplett auf dem Schlauch.

Würde mich über ein paar Tipps freuen :-)

Viele Grüße
Jakob







        
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:17 Mi 30.12.2009
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

also ohne L'Hospital würde ich mir jeweils eine Majorante suchen.

Beispielsweise gilt für a) und ausreichend grosse x [mm] $\ln{x} \le \sqrt{x}$ [/mm]

Für b würde ich mir was mit [mm] \bruch{1}{\sqrt{x}} [/mm] zurechtabschätzen :-)

Probiers mal aus.

MFG,
Gono.



Bezug
                
Bezug
Grenzwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:15 So 03.01.2010
Autor: jboss

Hi,
ich danke dir für deinen Tipp. Werde mal weiter an der Aufgabe tüfteln und ggf. im Laufe des Tages weitere Fragen stellen ;-)

Viele Grüße
Jakob
Bezug
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