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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:21 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Mangan |
| Aufgabe | Man berechne Folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}(\wurzel[n]{1+x}-1-\bruch{x}{n})*x^{-2} [/mm] |
Ja ich weiß es klappt mit der Krankenhausregel, aber die ist leider vom jetztigen Stand ausgeschlossen. Habet ihr eine Idee, wie man zeigen kann dass der grenzwert 0 ist? Ich dachte mir vll über eine Folge die gegen 0 konvergiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Mo 15.12.2008 | | Autor: | reverend |
Nur um sicherzugehen,
wer läuft hier wohin?
Unter Deinem limes steht x, ziellos umherirrend. Wohin geht das x?
Oder geht gar nicht das x, sondern ein n?
Woher kommen wir? Wohin gehen wir?
In der Zeit vor Erfindung des GPS waren das noch wichtige Fragen...
Grüße,
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Di 16.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nur um sicherzugehen,
> wer läuft hier wohin?
> Unter Deinem limes steht x, ziellos umherirrend. Wohin
> geht das x?
> Oder geht gar nicht das x, sondern ein n?
>
> Woher kommen wir? Wohin gehen wir?
> In der Zeit vor Erfindung des GPS waren das noch wichtige
> Fragen...
in der Tat, eigentlich sind das auch heute noch wichtige Fragen, vor allem: Wo sind wir gerade? 
Ich habe mal die Formel angeklickt, da soll anscheinend $x [mm] \to [/mm] 0$ stehen. Nichtsdestotrotz sollte hier gesagt werden, was (oder wenigstens woher) das $n$ ist. Immer diese Unbekannten, mit denen man sich abgeben muss :D
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:09 Di 16.12.2008 | | Autor: | reverend |
Ja, äh, genau. Immer diese Unbekannten. Kennen wir uns?
[schenkelklopfenderflachkalauer]
Noch ein fehlendes Icon.
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Das [mm]n[/mm] ist wohl hier ein ganzzahliger Parameter [mm]\geq 1[/mm].
Mit der binomischen Reihe klappt es:
[mm]\left( 1 + x \right)^{\frac{1}{n}} = \sum_{k=0}^{\infty} {{\frac{1}{n}} \choose k} x^k[/mm] für [mm]|x| < 1[/mm]
Durch die Subtraktionen im Zähler des Bruches fallen die ersten beiden Glieder der Reihe weg, die Division durch [mm]x^2[/mm] läßt die Reihe dann mit einem konstanten Glied beginnen - und das ist dann der gesuchte Grenzwert [mm]g[/mm].
Als Ergebnis habe ich [mm]g = - \frac{n-1}{2n^2}[/mm].
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:42 Di 16.12.2008 | | Autor: | Mangan |
Hallo,
erst mal danke für deine Mühe.
x soll gegen 0 gehen, zeigt es bei mir aber auch an!
und ja [mm] n\ge [/mm] 1 aus [mm] \IN. [/mm]
hm bei der Lösung hab ich irgendwie ein Problem. Wenn ich nur nahgenug mit x an null herangehe, kommt immer egal bei was für einem n 0 raus. deshalb auch die obrige frage.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Di 16.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mangan!
> x soll gegen 0 gehen, zeigt es bei mir aber auch an!
Ich hatte das geändert.
> hm bei der Lösung hab ich irgendwie ein Problem. Wenn ich
> nur nahgenug mit x an null herangehe, kommt immer egal bei
> was für einem n 0 raus.
Dann berechne doch mal auf einem Schmierzettel den Grenzwert mittels de l'Hospital (2-malige Anwendung).
Da solltest Du genau o.g. Wert erhalten.
Und für den Nachweis ohne de l'Hospital hat Dir Leopold den entsprechenden Hinweis gegeben.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Di 16.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> erst mal danke für deine Mühe.
> x soll gegen 0 gehen, zeigt es bei mir aber auch an!
mittlerweile wurde die Frage ja auch editiert (evtl. auch von einem Koordinator/Moderator).
Vorher stand bei Dir $ [mm] \rightarrow\0$, [/mm] das Ergebnis wäre [mm] $\rightarrow\0$, [/mm] d.h. die $0$ wird nicht angezeigt. Mittlerweile wurde der Backslash vor der $0$ entfernt, so dass da [mm] $\rightarrow [/mm] 0$ steht.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Di 16.12.2008 | | Autor: | Mangan |
ok danke.
danke auch für die antwort auf die nachfrage. hatte nen kleinen denkfehler.
damit gelöst :D
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