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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Mo 02.02.2004 | | Autor: | Christa |
Halli hallo!
Nein, ich steh nicht wieder vor einer Klausur, aber naja meine Lehrerin dachte sich: "Ach lass ich die mal Grenzwerte bestimmen." Ist ja auch kein Problem soweit. Ich weiß auch wie man das mach mit dem [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] usw.
Aber bei 3 Grenzwerten kommen bei mir sehr merkwürdige Ergebnisse raus, die mir sehr suspekt vorkommen.. 
(Also das sind so Ergebnisse wie [mm]\infty[/mm] - [mm]\infty[/mm] oder [mm]\infty[/mm] / [mm]\infty[/mm] und das kann irgendwie nicht sein, oder?)
Ok, lange Rede kurzer Sinn: Könnt ihr mir vielleicht helfen?
Ach ja, die Grenzwerte sind diese hier:
a) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] [mm]\bruch{sin(x) + xcos(x) + 2x}{2x}[/mm]
b) [mm]\limes_{x\rightarrow0}[/mm] ([mm]\bruch{sinx}{x}[/mm])1/x²
c) [mm]\limes_{x\rightarrow0}[/mm] ([mm]\bruch{1}{1 - cosx}[/mm])sinx
Ein fettes Dankeschön im voraus
Liebe Grüße
Eure Christa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Mo 02.02.2004 | | Autor: | Marc |
Hallöchen Christa,
> Nein, ich steh nicht wieder vor einer Klausur, aber naja
> meine Lehrerin dachte sich: "Ach lass ich die mal
> Grenzwerte bestimmen." Ist ja auch kein Problem soweit. Ich
> weiß auch wie man das mach mit dem
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] usw.
> Aber bei 3 Grenzwerten kommen bei mir sehr merkwürdige
> Ergebnisse raus, die mir sehr suspekt vorkommen..
> (Also das sind so Ergebnisse wie [mm]\infty[/mm] - [mm]\infty[/mm] oder
> [mm]\infty[/mm] / [mm]\infty[/mm] und das kann irgendwie nicht sein,
> oder?)
Das stimmt, so was ist nicht definiert.
> Ok, lange Rede kurzer Sinn: Könnt ihr mir vielleicht
> helfen?
>
> Ach ja, die Grenzwerte sind diese hier:
>
> a) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] [mm]\bruch{sin(x) + xcos(x) + 2x}{2x}[/mm]
[mm] $\bruch{\sin(x) + x\cos(x) + 2x}{2x}$
[/mm]
Das kann man doch ziemlich einfach vereinfachen:
[mm] $=\bruch{\sin(x)}{2x} [/mm] + [mm] \bruch{x\cos(x)}{2x} [/mm] + [mm] \bruch{2x}{2x}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{\sin(x)}{2x} [/mm] + [mm] \bruch{\cos(x)}{2} [/mm] + 1$
An dieser Darstellung erkennt man nun, dass der Grenzwert nicht existiert, denn der mittlere Summand "schwankt" zwischen -1/2 und +1/2, während der erste Summand gegen 1/2 geht und der dritte konstant 1 ist. Also "schwankt" der Gesamtausdruck ständig zwischen 1 und 2 hin und her. Ich nehme nicht an, dass Ihr das noch näher beweisen müßt, denn dazu müßte man noch größere mathematische Geschütze auffahren [mm] ($\epsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] anwenden, oder eine nicht-konvergente Teilfolge finden).
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow0}[/mm]
> ([mm]\bruch{sinx}{x}[/mm])1/x²
(siehe Stefans Tipp)
> c) [mm]\limes_{x\rightarrow0}[/mm] ([mm]\bruch{1}{1 - cosx}[/mm])sinx
Hattet Ihr schon die Sätze von l'Hospital? Damit müßte es recht einfach gehen (Sätze auf den Kehrwert diese Bruches anwenden). Falls Ihr die schon hattet, versuche es doch mal damit und ich reiche ich die Rechnung nach.
Alles Gute,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Di 03.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc,
ich denke mal du siehst deinen Flüchtigkeitsfehler sofort, wenn du es noch mal durchliest. Einmal schätzt du in die falsche Richtung ab...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:24 Di 03.02.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Stefan,
> ich denke mal du siehst deinen Flüchtigkeitsfehler sofort,
> wenn du es noch mal durchliest. Einmal schätzt du in die
> falsche Richtung ab...
Das war wieder mal selten dämlich vor mir. Danke für den Hinweis.
Alles Gute,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:27 Di 03.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc,
ich weiß doch zu gut aus eigener Erfahrung, wie schnell man so was falsch hinschreibt.
Aber noch was: Du schreibst, dass
[mm] $\lim\limits_{x \downarrow 0} \frac{\sin(x)}{2x} [/mm] = 0$
gilt, aber das stimmt nicht, es gilt:
[mm] $\lim\limits_{x \downarrow 0} \frac{\sin(x)}{2x} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
(Ich hoffe ich nehme hier nicht Harald'sche Züge an. Doch, irgendwie schon, sorry for that. )
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:37 Di 03.02.2004 | | Autor: | Marc |
Lieber Stefan,
> Aber noch was: Du schreibst, dass
>
> [mm] $\lim\limits_{x \downarrow 0} \frac{\sin(x)}{2x} [/mm] = 0$
>
> gilt, aber das stimmt nicht, es gilt:
>
> [mm] $\lim\limits_{x \downarrow 0} \frac{\sin(x)}{2x} [/mm] =
> [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
Ja, klar, stimmt. Manchmal wäre keine Antwort besser als eine hastig dahin geschriebene.
Hier hätte man wahrscheinlich auch besser den Satz von l'Hospital angewendet bzw. mit ihm argumentiert, dass die Grenzwerte nicht existieren.
Wenn Christa uns mitteilt, dass sie die Sätze von l'Hospital bereits kennt, werde ich einfach einen neuen Beitrag schreiben.
> (Ich hoffe ich nehme hier nicht Harald'sche Züge an. Doch,
> irgendwie schon, sorry for that. )
Wieso, das ist doch OK. Wenn's nun mal falsch ist.
Danke wieder mal,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 Di 03.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc,
> Hier hätte man wahrscheinlich auch besser den Satz von
> l'Hospital angewendet bzw. mit ihm argumentiert, dass die
> Grenzwerte nicht existieren.
Ich fand deine Begründung aber ansonsten sehr gut, viel besser als alles mit de l'Hospital zu machen.
> Wenn Christa uns mitteilt, dass sie die Sätze von
> l'Hospital bereits kennt, werde ich einfach einen neuen
> Beitrag schreiben.
Ist nicht nötig, meiner Ansicht nach.
> Wieso, das ist doch OK. Wenn's nun mal falsch ist.
Mir ist das aber unangenehm. (Im alten SK-Agent konnte man einen für die Allgemeinheit nicht-sichtbaren Korrekturkommentar einfügen. Das fände ich ganz gut. Sprich also einen Korrekturkommentar, den nur der Autor des fehlerhaften Beitrags selbst lesen kann.)
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:50 Di 03.02.2004 | | Autor: | Marc |
Lieber Stefan,
> Mir ist das aber unangenehm. (Im alten SK-Agent konnte man
> einen für die Allgemeinheit nicht-sichtbaren
> Korrekturkommentar einfügen. Das fände ich ganz gut. Sprich
> also einen Korrekturkommentar, den nur der Autor des
> fehlerhaften Beitrags selbst lesen kann.)
Ja, gute Idee.
Allerdings wird das eine Untermenge eines allgemeineren Features sein, was ich noch plane: Nämlich die Bestimmung der Sichtbarkeit einzelner Artikel für bestimmte Personengruppen oder etwas verständlicher: Dass man beim Schreiben eines Artikels angeben kann, wer diesen Artikel lesen kann (z.B. bestimmte User oder tutoren, mitglieder etc.) So könnte man dem Autor eine (Korrektur-) Mitteilung schreiben, die nur er lesen kann.
Liebe Grüße,
Marc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:54 Di 03.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc!
Wow, das hört sich super an. Du bist für mich der Programmierheld! 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:58 Di 03.02.2004 | | Autor: | Marc |
Lieber Stefan,
> Wow, das hört sich super an. Du bist für mich der
> Programmierheld!
Programmieren scheint die einzige Domäne zu sein, wo ich noch einigermaßen nützlich für den MatheRaum sein kann :-(
Nein, ich muß nur sorgfältiger bei meinen mathematischen Antworten arbeiten.
Alles Gute,
Marc.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Di 03.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christa,
Marcs Ergebnis bei b) ist richtig, aber bei der Begründung ist ihm ein kleiner Flüchtigkeitsfehler unterlaufen. Ich würde es auch dort mal mit der Regel von de l'Hospital versuchen. Oder mit der Reihenentwicklung des Sinus. Es gibt verschiedene Möglichkeiten. Oder aber ihr wisst schon, dass
[mm] $\lim\limits_{x \downarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} [/mm] = 1$
gilt, dann ist es auch klar.
Melde dich mal und sage uns, ob du die Regel von de l'Hospital kennst.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Di 03.02.2004 | | Autor: | Christa |
(Sorry, dass ich mich erst jetzt melde...naja, lieber später als nie )
Also, der Satz ist mir bekannt und ich hab' das auch schon damit ausprobiert, aber naja, wie schon gesagt bei mir kommen nur so seltsame Werte heraus.
Liebe Grüße
Christa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Di 03.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christa,
okay, wenn du die Regel von de l'Hospital kennst, dann rechne ich dir mal zwei der Aufgaben vor.
b) Es gilt:
[mm]\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \frac{\cos(0)}{1} = \frac{1}{1} = 1[/mm]
und daher:
[mm]\lim\limits_{x \to 0} \left(\underbrace{\frac{\sin(x)}{x}}_{\to 1} \cdot \underbrace{\frac{1}{x^2}}_{\to + \infty} \right) = + \infty[/mm].
c) Es gilt für den rechtsseitigen Grenzwert:
[mm]\lim\limits_{x \downarrow 0} \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} = \lim\limits_{x \downarrow 0} \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \lim\limits_{x \downarrow 0} \frac{1}{\sin(x)} = + \infty[/mm]
und analog für den linksseitigen Grenzwert:
[mm]\lim\limits_{x \uparrow 0} \frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} = \lim\limits_{x \uparrow 0} \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \lim\limits_{x \uparrow 0} \frac{1}{\sin(x)} = - \infty[/mm]
Verstanden, was ich gemacht habe?
Wenn [mm]\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=0[/mm] und [mm]\lim\limits_{x \to x_0} g(x)=0[/mm] gilt und [mm]f[/mm] bzw. [mm]g[/mm] in der Umgebung von [mm]x_0[/mm] differenzierbar sind, dann gilt:
[mm]\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}[/mm].
Melde dich bei Fragen bitte wieder...
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:13 Di 03.02.2004 | | Autor: | Christa |
DANKE!!! Ich hab's verstanden UND sogar meine Fehler gefunden! Ihr seid echt klasse!!!!
Liebe Grüße
Christa
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