Grenzwertbeweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen!
Ich stehe vor dem folgenden "Problem":
| Aufgabe | Gegeben ist die Folge [mm] a_n= \bruch { n^2 + n -1}{n^2 + n + 1}[/mm] n ist Element von N ohne 0
a) Wie zeige ich am Beispiel der Folge an, wie der Grenzwert einer Folge definiert ist?
b) Wie berechtne ich den Grenzwert der Folge an und beweise am besten das Ergebnis meiner Rechnung direkt mit Hilfe der Definition?
Wie kann ich dies evtl. anschaulich erklären?
c)Wie zeige ich mit demselben Formalismus, dass weder 0,9 noch 1,1 Grenzwert der Folge sein können?
|
Vielleicht könnt ihr mir ja ein Wenig weiterhelfen.
Es wäre echt sehr net.
Ich wünsche allen ein gesegnetes und schönes Fest.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 So 24.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sanny,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wie ihr nun den Grenzwert definiert habt, weiß ich natürlich nicht. Ich vermute ja mal, mit dem [mm] $\varepsilon$-Kriterium:
[/mm]
[mm] $\forall [/mm] \ [mm] \varepsilon>0 [/mm] \ [mm] \exists [/mm] \ [mm] N\in\IN [/mm] \ : \ [mm] \left|a_n-a\right|<\varepsilon [/mm] \ [mm] \forall n\ge [/mm] N$
Um nunmehr den Grenzwert festzustellen, solltest Du in Zähler und Nenner den Term [mm] $n^2$ [/mm] ausklammern und kürzen:
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^2+n-1}{n^2+n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^2*\left(1+\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^2}\right)}{n^2*\left(1+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}\right)} [/mm] \ = \ ...$
Für den Nachweis als Grenzwert setzt Du dann ein:
[mm] $\left|a_n-a\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{n^2+n-1}{n^2+n+1}-1\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{n^2+n-1-n^2-n-1}{n^2+n+1}\right| [/mm] \ =\ ... \ < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Anschaulich bedeutet dies, dass sich ab einem bestimmten Folgenglied [mm] $a_N$ [/mm] alle darauffolgenden Glieder innerhalb dieser (beliebigen) [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] befinden.
Und wenn Du dies nun mit anderen "Grenzwerten" außer dem richtigen machst, dürftest Du wohl kein solchens $N_$ finden.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
