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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | | Zeige das [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{1}{n^2})^n=1 [/mm] |
Wir haben bereits die Definition gefunden, dass der Grenzwert von [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] e ist.
Kann ich davon hier gebrauch machen?
Oder gibts Kriterien, die mir hier weiterhelfen?
Die Grenzwertsätze darf ich doch hier nicht einfach verwenden, weil jedes Folgeglied ein endliches Produkt ist oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ferolei!
Bitte eröffne in Zukunft für neue / unabhängige Aufgaben auch einen eigenständigen Thread.
> Zeige das [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{1}{n^2})^n=1[/mm]
>
> Wir haben bereits die Definition gefunden, dass der
> Grenzwert von [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] e ist.
Wende auf die Klammer die 3. binomische Formel an:
[mm] $$\left(1-\bruch{1}{n^2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \left[1^2-\left(\bruch{1}{n}\right)^2 \ \right] [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ich tu mich ein wenig schwer mit der Hilfestellung, weil wir noch nicht gezeigt haben, was [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{1}{n})^n [/mm] ist und ich kann das auch spontan nicht zeigen.
Ich finde zwar im Netz, dass es [mm] e^{-1} [/mm] sein muss, aber dass darf ich ja nicht einfach voraussetzen, dass ich das weiß
lG
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> Ich tu mich ein wenig schwer mit der Hilfestellung, weil
> wir noch nicht gezeigt haben, was
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{1}{n})^n[/mm] ist und ich
> kann das auch spontan nicht zeigen.
Hallo,
aber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] wurde ja gezeigt. (?)
Es ist
[mm] (1-\bruch{1}{n})^n= (\bruch{n-1}{n})^n [/mm] = [mm] (\bruch{n}{n-1})^{-n}= ((\bruch{(n-1)+1}{n-1})^{n})^{-1}
[/mm]
Vielleicht kommst Du damit schon weiter.
Gruß v. Angela
>
> Ich finde zwar im Netz, dass es [mm]e^{-1}[/mm] sein muss, aber dass
> darf ich ja nicht einfach voraussetzen, dass ich das weiß
>
> lG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Hallo Angela,
danke für den Tipp...
tatsächlich haben wir bereits [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] gehabt.
Wenn ich mir deine Umformung so anschaue, komme ich ja schließlich auf:#
[mm] \bruch{1}{(1+{bruch{1}{n-1}})^n}
[/mm]
Und das ist ja ähnlich wie die obere Folge....darf ich dann direkt sagen, dass der untere Teil des Bruches [mm] (1+\bruch{1}{n-1})^n [/mm] auch gegen e konvergiert, oder muss ich das mit irgendeinem Kriterium begründen?
Dann habe ich ja für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n})^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{e}
[/mm]
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> Hallo Angela,
>
> danke für den Tipp...
>
> tatsächlich haben wir bereits [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] gehabt.
>
> Wenn ich mir deine Umformung so anschaue, komme ich ja
> schließlich auf:#
>
> [mm]\bruch{1}{(1+{\bruch{1}{n-1}})^n}[/mm]
>
> Und das ist ja ähnlich wie die obere Folge....darf ich
> dann direkt sagen, dass der untere Teil des Bruches
> [mm](1+\bruch{1}{n-1})^n[/mm] auch gegen e konvergiert, oder muss
> ich das mit irgendeinem Kriterium begründen?
Schieb mal noch 'nen Zwischenschritt ein: [mm] \bruch{1}{(1+{\bruch{1}{n-1}})^{n-1}(1+{\bruch{1}{n-1}})}
[/mm]
Und nun den Grenzwert.
Gruß v. Angela
>
> Dann habe ich ja für
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n})^n[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{e}[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Versteh ich das richtig, dass der Zwischenschritt jetzt schon die Brgründung ist?
das [mm] (1+\bruch{1}{n-1}) [/mm] gegen 1 läuft ist klar
also: [mm] (1+\bruch{1}{n-1})^{n-1}*1 [/mm] .... und das läuft gegen e ?
Mir ist nicht so ganz klar, was das mit dem Nenner und dem Exponenten zu tun hat.
lg, Ferolei
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> Versteh ich das richtig, dass der Zwischenschritt jetzt
> schon die Brgründung ist?
>
> das [mm](1+\bruch{1}{n-1})[/mm] gegen 1 läuft ist klar
>
> also: [mm](1+\bruch{1}{n-1})^{n-1}*1[/mm] .... und das läuft gegen
> e ?
Ja. wenn [mm] n\to \infty, [/mm] dann geht auch [mm] m:=n-1\to \infty, [/mm] und Du hast den Grenzwert e.
Im Nenner hast Du also e, insgesamt also 1/e. Und das ist ja [mm] e^{-1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ja, das ist klar, aber ich seh nicht den Unterschied, weshalb ich diesen Zwischenschritt brauche.
Ist es irgendwie wichtig, dass im Exponent n-1 stehen soll?
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> Ja, das ist klar, aber ich seh nicht den Unterschied,
> weshalb ich diesen Zwischenschritt brauche.
> Ist es irgendwie wichtig, dass im Exponent n-1 stehen
> soll?
Ja, weil Du in der Vorlesung gezeigt hast, daß [mm] \lim_{n\to \infty}(1+\bruch{1}{n})^n=e [/mm] ist.
Ihr habt nicht gezeigt, daß [mm] \lim_{n\to \infty}(1+\bruch{1}{n})^{n-1}=e [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Für meine Ausgangsaufgabe heißt das also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n^2})^n=[1^2-(\bruch{1}{n})^2]^n=(1+\bruch{1}{n})^n*(1-\bruch{1}{n})^n=e*\bruch{1}{e}=1 [/mm]
???
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> Für meine Ausgangsaufgabe heißt das also:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n^2})^n=[1^2-(\bruch{1}{n})^2]^n=(1+\bruch{1}{n})^n*(1-\bruch{1}{n})^n=e*\bruch{1}{e}=1[/mm]
>
> ???
Hallo,
im Prinzip schon, aber die Zwischenschritte von [mm] (1-\bruch{1}{n})^n [/mm] zu [mm] \bruch{1}{e} [/mm] solltest Du schon aufführen. Und immer fein lim davor!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ja das ist klar.
Eigentlich war die Aufgabe so aufgebaut, dass man zeigen soll, dass
(1) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n})^n=\bruch{1}{e} [/mm] ist
und soll dann vorher zeigen, als 'Hilfestellung', dass
(2) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n^2})^n=1 [/mm] ist.
In meinem Beweis zu (1) habe natürlich (2) nicht gebraucht aber umkehrt für (2) habe ich (1) gebraucht :)
Jetzt stellt sich mir die Frage, ob ich das dann so machen kann.
lG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 So 22.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ja das ist klar.
>
> Eigentlich war die Aufgabe so aufgebaut, dass man zeigen
> soll, dass
>
> (1)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n})^n=\bruch{1}{e}[/mm]
> ist
>
> und soll dann vorher zeigen, als 'Hilfestellung', dass
>
> (2) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n^2})^n=1[/mm] ist.
Warum sagst du sowas nicht gleich? Dann weiss man schonmal welcher Weg dir nicht weiterhilft.
Wie man von (2) auf (1) kommt hast du vermutlich schon Loddars Tipp entnehmen koennen.
> In meinem Beweis zu (1) habe natürlich (2) nicht gebraucht
> aber umkehrt für (2) habe ich (1) gebraucht :)
Es ist ja $|(1 - [mm] n^{-2})^n [/mm] - 1| = [mm] |\sum_{i=1}^n \binom{n}{i} n^{-2 i}| \le \sum_{i=1}^n \binom{n}{i} n^{-2 i} \le \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \binom{n}{i} n^{-i} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \left( (1 + n^{-1})^n - 1 \right)$. [/mm] Der Term ganz rechts geht fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] offenbar gegen 0, womit [mm] $\lim_{n\to\infty} [/mm] (1 - [mm] n^{-2})^n [/mm] = 1$ ist.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:26 So 22.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Danke Felix,
aber diese Vorgehensweise sagt mir leider garnichts. Da wird wohl irgendwas verwendet, was wir noch garnicht hatten.
Vor allem diese [mm] \vektor{n \\ i} [/mm] hatten wir bisher nicht.
Gibt es doch noch andere Möglichkeiten $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n^2})^n=1$ [/mm] zu zeigen, ohne $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n})^n=\bruch{1}{e}$ [/mm] vorauszusetzen?
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Hallo,
hattet Ihr wirklich nicht den binomischen Satz, also [mm] (a+b)^n= \summe [/mm] ... ? Ich kann mir das kaum vorstellen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 24.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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