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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2} [/mm] konvergiert |
Ich habe ein neues Problem.
Diese Aufgabe soll angeblich sehr leicht zu lösen sein.
Ich habe bereits bewiesen, dass die Reihe [mm] \summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{k(k-1)} [/mm] gegen 1 konvergiert.
Meine Abschätzung ist nun, dass diese Reihe oben gegen 2 läuft.
Kann ich von der bisher bewiesenen Reihe gebrauch machen wenn ich betrachte, dass ich ja bei dieser [mm] \summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{k^2-k} [/mm] stehen habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Fr 20.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du brauchst ja nicht den Gw, sondern nur die Konvergenz. Deshal kannst du deine Reihe verwenden, denn die neue ist in jedem Summanden kleiner, dann konvergiert sie auch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ja genau das dachte ich mir.
Aber wie genau zeigt man Konvergenz?
Wir machen das halt jedes Mal anders und irgendwie weiß ich nicht, an was ich mich orientieren kann.
lG
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Hallo nochmal,
> Ja genau das dachte ich mir.
>
> Aber wie genau zeigt man Konvergenz?
> Wir machen das halt jedes Mal anders und irgendwie weiß
> ich nicht, an was ich mich orientieren kann.
Na, das hat leduart doch gesagt.
Es ist [mm] $k^2>k(k-1)$, [/mm] also [mm] $\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}$ [/mm]
Alle Summanden sind positiv, also auch [mm] $\sum\frac{1}{k^2}<\sum\frac{1}{k(k-1)}$
[/mm]
Nun weißt du, dass die hintere größere Reihe (Majorante) konvergent ist, was sagt also das Vergleichskriterium (auch Majoranten-/Minorantenkrit.) über die Reihe [mm] $\sum\frac{1}{k^2}$ [/mm] ??
Du solltest echt versuchen, die Sachen, die dir gesagt werden, etwas selbständiger umzusetzen ...
>
> lG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ja, ich weiß, dass das keine Entschuldigung ist, aber wir hatten das Majorantenkriterium noch nicht.
Durch die Bildungsstreiks sind bei uns diese Woche die Vorlesungen ausgefallen, mit der Konsequenz, dass wir das Blatt jetzt ohne weitere Vorlesungen bearbeiten müssen.
Habe jetzt mal in einem Buch nachgeschaut:
Versteh ich das richtig, dass wenn die Majorante, also die größere Folge konvergiert, dass es dann auch die Minorante tut?
Umgekehrt wenn die Minorante divergiert, dann tut das auch die Majornate?
Denn wenn das so wäre, dann kann ich dass ja einfach daraus schließen.
Danke für eure Unterstützung...aller Angang ist bekanntlich schwer.
Grenzwerte hatten wir in der Schule nicht, sodass ich mich hier mit einem komplett neuem Thema beschäftigen muss.
lG
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Hallo nochmal,
> Ja, ich weiß, dass das keine Entschuldigung ist, aber wir
> hatten das Majorantenkriterium noch nicht.
>
> Durch die Bildungsstreiks sind bei uns diese Woche die
> Vorlesungen ausgefallen, mit der Konsequenz, dass wir das
> Blatt jetzt ohne weitere Vorlesungen bearbeiten müssen.
Ok, das ist was anderes ...
>
> Habe jetzt mal in einem Buch nachgeschaut:
das ist immer ein guter Plan 
>
> Versteh ich das richtig, dass wenn die Majorante, also die
> größere Folge konvergiert, dass es dann auch die
> Minorante tut?
Klar, dass eine Reihe konvergiert, bedeutet doch, dass sie einen endlichen Wert hat.
Wenn du also eine konvergente Majorante zu deiner Ausgangsreihe hast, hast du insbesondere eine größere Reihe, die einen endlichen Wert hat, was bleibt da deiner armen kleineren Reihe übrig, als auch einen endlichen Wert zu haben, also auch zu konvergieren?
>
> Umgekehrt wenn die Minorante divergiert, dann tut das auch
> die Majornate?
Genau so ist es, Argument wie oben, Minorante hat keinen endl. Wert, haut also gegen [mm] $\infty$ [/mm] ab, deine Ausgansreihe ist größer als die Minorante, schießt also auch über alle Grenzen hinaus.
>
> Denn wenn das so wäre, dann kann ich dass ja einfach
> daraus schließen.
Jo, das wäre der Beweis der Konvergen der Reohe [mm] $\sum\frac{1}{k^2}$
[/mm]
>
> Danke für eure Unterstützung...aller Angang ist
> bekanntlich schwer.
Stimmt
>
> Grenzwerte hatten wir in der Schule nicht, sodass ich mich
> hier mit einem komplett neuem Thema beschäftigen muss.
>
> lG
Dito
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Ferolei |
Da bin ich aber froh, dass ich auf Verstädnis treffe :)
Ich kann das zumindest nachvollziehen, was du mir hier geschrieben hast.
Vielen Dank dafür
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