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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwertbestimmung/Taylorreih
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Grenzwertbestimmung/Taylorreih: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:10 Di 13.12.2011
Autor: gonefishing

Aufgabe
Es sei [mm]f(x)=(f(x)+x)^2, f(0)=0 [/mm].
Bestimme [mm]\lim_{x->\infty}\frac{f(x)}{x^2} [/mm]

Moin, moin!
Ich möchte den Grenzwert ueber die Taylorreihe finden, komme aber auf keinen gruenen Zweig:
[mm] \lim_{x->\infty}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x->\infty}\frac{f(x)+f'(x)x+\frac{f''(x)x^2}{2!}...}{x^2} [/mm]
Wenn ich in den obigen Ausdruck
[mm]f'(x)=2\left( f'(x)\left( f(x)+x \right) +f(x)+x\right) [/mm]
und
[mm]f''(x)=2\left(f''(x)\left(f(x)+x\right)+f'(x)\left(f'(x)+4\right) \right) +2[/mm]
einsetze, dann sehe ich keine sinnvolle Möglichkeit fuer Kuerzungen. Mit der Regel von l'Hospital komme ich auch nicht weiter, da ich den Grenzwert der Ableitungen nicht kenne. Hat jemand eine Idee?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Grenzwertbestimmung/Taylorreih: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:23 Di 13.12.2011
Autor: fred97


> Es sei [mm]f(x)=(f(x)+x)^2, f(0)=0 [/mm].
>  Bestimme
> [mm]\lim_{x->\infty}\frac{f(x)}{x^2}[/mm]
>  Moin, moin!
>  Ich möchte den Grenzwert ueber die Taylorreihe finden,
> komme aber auf keinen gruenen Zweig:
>  
> [mm] \lim_{x->\infty}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x->\infty}\frac{f(x)+f'(x)x+\frac{f''(x)x^2}{2!}...}{x^2} [/mm]

Im Zähler oben rechts steht nicht die Taylorreihe !  Um welchen Punkt willst Du denn entwickeln ?

Ist wirklich [mm] \lim_{x->\infty}\frac{f(x)}{x^2} [/mm] gemeint und nicht etwa

            [mm] \lim_{x-> 0}\frac{f(x)}{x^2} [/mm] ?

Welche Differenzierbarkeitseigenschaften soll f denn haben ? Wo ist f definiert ?


>  Wenn ich in den obigen Ausdruck
>  [mm]f'(x)=2\left( f'(x)\left( f(x)+x \right) +f(x)+x\right)[/mm]
>  
> und
>  
> [mm]f''(x)=2\left(f''(x)\left(f(x)+x\right)+f'(x)\left(f'(x)+4\right) \right) +2[/mm]

Diese Ableitung ist falsch !


Wenn f 2-mal stetig differenzierbar ist, so bekomme ich mit 2 - maliger Amwendung von L'Hospital:

  [mm] \lim_{x-> 0}\frac{f(x)}{x^2}=(f'(0)+1)^2 [/mm]


FRED

>  
> einsetze, dann sehe ich keine sinnvolle Möglichkeit fuer
> Kuerzungen. Mit der Regel von l'Hospital komme ich auch
> nicht weiter, da ich den Grenzwert der Ableitungen nicht
> kenne. Hat jemand eine Idee?
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Grenzwertbestimmung/Taylorreih: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:37 Di 13.12.2011
Autor: gonefishing

Hallo fred97 und danke fuer die schnelle Antwort!
Tschuldigung, es sollte
[mm]\lim_{x->0}\frac{f(x)}{x^2} [/mm]
heissen. Brauche wohl noch eine Tasse Kaffee...
Differenzierbarkeitseigenschaften und Definitionsraum werden in der Aufgabenstellung nicht gegeben.
Ich schau mir die Aufgabe vor dem Hintergrund Deiner Antwort noch einmal an.

Andreas

Bezug
                        
Bezug
Grenzwertbestimmung/Taylorreih: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:28 Di 13.12.2011
Autor: angela.h.b.


>  Differenzierbarkeitseigenschaften und Definitionsraum
> werden in der Aufgabenstellung nicht gegeben.

Hallo,

ich kann mir kaum vorstellen, daß es keine weiteren Angaben gibt.
Gibt es eine vorangehende Teilaufgabe mit einem Einleitungstext?

Gruß v. Angela


Bezug
                                
Bezug
Grenzwertbestimmung/Taylorreih: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:54 Di 13.12.2011
Autor: gonefishing

Hallo Angela!
Nee, es gibt keine weiteren Angaben. Aber mit l'Hospital (und Fred's Hilfe) geht's glaube ich so:
$f'(x)=2(f(x)f'(x)+f'(x)x+f(x)+x) [mm] \Rightarrow [/mm] f'(0)=0$
$f''(x)=2(f''(x)(f(x)+x)+f'(x)(f'(x)+2)+1) [mm] \Rightarrow [/mm] f''(0)=2$
[mm] $\lim_{x->0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x->0}\frac{f''(0)}{2}=1$ [/mm]
Wenn das die richtige Antwort ist, dann ist die Aufgabe gelöst. Ich frage mich nur, wie man das auch ueber Taylor hinkriegt.

Gruss
Andreas

Bezug
                                        
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Grenzwertbestimmung/Taylorreih: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:56 Di 13.12.2011
Autor: fred97


> Hallo Angela!
>  Nee, es gibt keine weiteren Angaben. Aber mit l'Hospital
> (und Fred's Hilfe) geht's glaube ich so:
>  [mm]f'(x)=2(f(x)f'(x)+f'(x)x+f(x)+x) \Rightarrow f'(0)=0[/mm]
>  
> [mm]f''(x)=2(f''(x)(f(x)+x)+f'(x)(f'(x)+2)+1) \Rightarrow f''(0)=2[/mm]
>  
> [mm]\lim_{x->0}\frac{f(x)}{x^2}=\lim_{x->0}\frac{f''(0)}{2}=1[/mm]
>  Wenn das die richtige Antwort ist, dann ist die Aufgabe
> gelöst.

Es stimmt.

> Ich frage mich nur, wie man das auch ueber Taylor
> hinkriegt.


Zu x [mm] \ne [/mm] 0 gibt es ein [mm] s_x [/mm] zwischen 0 und x mit:

      $   f(x) = [mm] f(0)+f'(0)x+\bruch{f''(0)}{2}x^2+\bruch{f'''(s_x)}{6}x^3= x^2+\bruch{f'''(s_x)}{6}x^3$ [/mm]

Damit ist

  [mm] \bruch{f(x)}{x^2}= 1+\bruch{f'''(s_x)}{6}x [/mm]

Ist nun f''' in 0 stetig, so folgt:  [mm] \bruch{f(x)}{x^2} \to [/mm] 1  für x [mm] \to [/mm] 0

FRED

>  
> Gruss
>  Andreas


Bezug
                        
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Grenzwertbestimmung/Taylorreih: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:02 Di 13.12.2011
Autor: fred97


> Hallo fred97 und danke fuer die schnelle Antwort!
>  Tschuldigung, es sollte
> [mm]\lim_{x->0}\frac{f(x)}{x^2}[/mm]
>  heissen. Brauche wohl noch eine Tasse Kaffee...
>  Differenzierbarkeitseigenschaften und Definitionsraum
> werden in der Aufgabenstellung nicht gegeben.
>  Ich schau mir die Aufgabe vor dem Hintergrund Deiner
> Antwort noch einmal an.
>  
> Andreas


ist  "beantwortet"

FRED

Bezug
                                
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Grenzwertbestimmung/Taylorreih: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:18 Di 13.12.2011
Autor: gonefishing

Tausend Dank!

Andreas

Bezug
        
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Grenzwertbestimmung/Taylorreih: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:04 Mi 14.12.2011
Autor: fred97

Manchmal sieht man den Baum vor lauter Wäldern nicht....

Aus

              $ [mm] f(x)=(f(x)+x)^2$ [/mm]  und $ f(0)=0 $

folgt durch auflösen der quadratischen Gleichung $ [mm] f(x)=(f(x)+x)^2$ [/mm]  unter Beachtung von f(0)=0:

                   $f(x)= [mm] \bruch{1}{2}-x-\wurzel{ \bruch{1}{4}-x}$, [/mm]

wobei x [mm] \le [/mm] 1/4 sein muß. Für diese x ist stets [mm] \bruch{1}{2}-x+\wurzel{ \bruch{1}{4}-x}>0. [/mm] Erweitert man mit dem letzten Ausdruck, so erhält man:

                   [mm] $f(x)=\bruch{x^2}{\bruch{1}{2}-x+\wurzel{ \bruch{1}{4}-x}}$, [/mm] also

                   [mm] $\bruch{f(x)}{x^2}= \bruch{1}{\bruch{1}{2}-x+\wurzel{ \bruch{1}{4}-x}} \to [/mm] 1$  für $x [mm] \to [/mm] 0$

FRED

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