Grenzwertbestimmung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Do 04.11.2010 | | Autor: | Drezil |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | $ r_n = {l_{n+1} \over l_n} $
Weisen sie nach, dass die Folge $ (r_n)_{n \in \IN} $ konvergiert und berechnen sie ihren Grenzwert.
Hinweis:
$ l_0 = 2; l_1 = 1; l_{n+1} = l_n + l_{n-1} $ und $ l_n = \left ( {{1+ \sqrt 5} \over {2} \right ) ^n + \left ( {{1- \sqrt 5} \over {2} \right ) ^n $ |
Erstmal hab ich $ r_n $ aufgelöst und bin dabei (gekürzt) auf $ {(1+ \sqrt 5)^{n+1} + (1- \sqrt 5)^{n+1}} \over {2 \left ((1+ \sqrt 5)^{n} + (1- \sqrt 5)^{n} \right )} $ gekommen. (Ausgeschrieben, $ 1 \over 2^n $ ausgeklammert und das übriggebliebene $1 \over 2$ nach unten verfrachtet. Sollte soweit sinnig und korrekt sein)
Außerdem gilt: $ r_n = {l_{n+1} \over l_n} = {l_{n} \over l_n} + {l_{n-1} \over l_n} = 1 + {l_{n-1} \over l_n} $ und da die Lucas-Folge (ab n=2 oder so) monoton steigend ist, gilt $ 1 < r_n < 2 $ . Damit weiss ich schonmal, dass das Ding beschränkt ist - bringt mich aber kein bisschen weiter.
Nächster Ansatz war zumindest die Konvergenz zu zeigen. Also Quotientenkriterium drauf probiert und bin schon beim 2 Schritt steckengeblieben. Hab hier $ {\left ( \left ( {1+ \sqrt 5} \over {2} \right ) ^{n+2} + \left ( {1- \sqrt 5} \over {2} \right ) ^{n+2} \right ) \left ( \left ( {1+ \sqrt 5} \over {2} \right ) ^{n} + \left ( {1- \sqrt 5} \over {2} \right ) ^{n} \right )} \over {\left ( \left ( {1+ \sqrt 5} \over {2} \right ) ^{n+1} + \left ( {1- \sqrt 5} \over {2} \right ) ^{n+1}\right ) ^2} $ stehen und komme da auch nicht weiter .. Könnte das zwar auseinanderziehen und sagen, dass der rechte Teil < 1 ist, aber der Linke ist dann > 1 und das bringt mich nicht weiter.
Ich hab am PC mal den Grenzwert genähert .. Es sollte rauskommen: $ {1+ \sqrt 5} \over 2 $
Aber ich hab keine Ahnung, wie ich da hin komme.
Ich hab auch noch versucht das per Binomialsatz in Summen zu zerlegen und hab die etwas umgeformt .. allerdings führte das auch zu einer Sackgasse, da ich (selbst mit Fallunterscheidung) nachher nur eine eklige Summe da stehen hab (ist ne Menge abzutippen und wird auch nicht weiterhelfen glaub ich - daher spar ich mir das ganze mal).
Kann mir vielleicht einer den richtigen Ansatz geben? Weil ich komm absolout nicht weiter und mir sind auch die Ansatz-Ideen ausgegangen -.-
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guten Abend,
Wenn ich das richtig sehe sucht du also den Grenzwert der Folge von Quotienten aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen, oder nicht? Cool^^
Ich erinner dich vllt mal an den bestimmt bekannten Satz: Aus Monotonie und Beschränktheit einer Folge folgt dessen Konvergenz!
Und wie du schon richtig angefangen hast:
[mm] r_n = 1 + \bruch{l_{n-1}}{l_n} = 1 + \bruch{1}{r_{n-1}} [/mm]
Angenommen, du zeigt für [mm] r_n [/mm] Monotonie und Beschränktheit (hast du ja schon fast), dann geht [mm] r_n [/mm] und [mm] r_{n-1} [/mm] gegen den selben Grenzwert $r$ und du bekommst eine quadratische Gleichung, deren Lösung dann der von deinem PC ausgespucktem Grenzwert ist (eine musst du noch ausschließen, begründet vllt durch deine Schranken?!)...
Ich hoffe ich konnte helfen!
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:44 Do 04.11.2010 | | Autor: | Drezil |
Habe jetzt ein Lösung gefunden:
Man setzt $ a = {{1+ [mm] \sqrt [/mm] 5} [mm] \over [/mm] {2}} $ und $ b = {{1- [mm] \sqrt [/mm] 5} [mm] \over [/mm] {2}}$
Dann ist [mm] $r_n [/mm] = [mm] {{a^{n+1} + b^{n+1}} \over {a^{n} + b^{n}}}$
[/mm]
Außerdem ist $ [mm] \left | b \right [/mm] | < 1$, somit ist$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b^n [/mm] = 0$
Damit gilt: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} r_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} {a^{n+1} \over a^n} [/mm] = a$
Somit ist der Grenzwert ${1+ [mm] \sqrt [/mm] 5} [mm] \over [/mm] {2} $
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So kannst du es auch machen, aber der von mir beschriebene Weg ist ebenso erfolgsversprechend! Und du hattest ja schon alles dafür notwendige stehen!
lg Kai
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