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| Aufgabe | Bestimmen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{(n!)^{3}}{(3n)!} [/mm] |
Hey Leute,
[mm] a_{n}=\bruch{(n!)^{3}}{(3n)!} [/mm]
[mm] a_{n+1}=\bruch{((n+1)!)^{3}}{(3n+3)!}
[/mm]
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=a_{n+1}*\bruch{1}{a_{n}}
[/mm]
Nun setze ich das Gegebene in die Formel ein und bekomme:
[mm] \bruch{((n+1)!)^{3}}{(3n+3)!}*\bruch{(3n)!}{(n!)^{3}} [/mm]
Wie kann ich diesen Term nun sinnvoll kürzen um zu einen Grenzwert zukommen?
Ein Versuch von mir, verlief so:
[mm] (\bruch{(n+1)!}{n!})^3*\bruch{(3n)!}{(3n+3)!}=(\bruch{n!*(n+1)}{n!})^3*\bruch{(3n)!}{(3n)!*(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)}=(n+1)^3*\bruch{1}{(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)}
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)^3}{(3n+1)*(3n+2)*(3n+3)}=\bruch{n^3+3n^2+3n+1}{27n^3+54n^2+33n+6}=\bruch{n^3(1+\bruch{3}{n}+\bruch{3}{n^2}+\bruch{1}{n^3})}{n^3(27+\bruch{54}{n}+\bruch{33}{n^2}+\bruch{6}{n^3})}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+\bruch{3}{n}+\bruch{3}{n^2}+\bruch{1}{n^3}}{27+\bruch{54}{n}+\bruch{33}{n^2}+\bruch{6}{n^3}}=\bruch{1}{27}
[/mm]
Also konvergiert [mm] a_{n} [/mm] gegen den Grenzwert von [mm] \bruch{1}{27}
[/mm]
Grüße, die Beere
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Mi 26.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch auch (3n+3)!=(3n)!*.....
Das musst du doch können!
Gruss leduart
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