Grenzwertbestimmung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Fr 24.07.2009 | | Autor: | wiggle |
| Aufgabe | Ich möchte den Grenzwert der Funktionen von [mm] $Y_{1}$ [/mm] und [mm] $Y_{2}$ [/mm] bestimmen, wenn $j$ ganz groß wird also gegen [mm] $\infty$ [/mm] geht! Und zwar in folgenden Fällen:
[mm] $Y_{1}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)}+j\cdot n+2\cdot n+1\right)\cdot\left(m-c\cdot n\right)}{\left(4\cdot n\cdot\left(j\cdot\left(n+1\right)+n\right)\right)}$
[/mm]
und
[mm] $Y_{2}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)}-j\cdot n-2\cdot n-1\right)\cdot\left(cn-m\right)}{\left(4\cdot n\cdot\left(j\cdot\left(n+1\right)+n\right)\right)}$
[/mm]
Dabei sind $c,n,m [mm] \in\mathbb{R}$
[/mm]
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Die Funktionen unterscheiden sich schon ein bißchen!
Ist das hier überhaupt möglich zu sagen, was passiert, wenn $j$ gegen [mm] $\infty$ [/mm] läuft?
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Hallo wiggle,
> Ich möchte den Grenzwert der Funktionen von [mm]Y_{1}[/mm] und
> [mm]Y_{2}[/mm] bestimmen, wenn [mm]j[/mm] ganz groß wird also gegen [mm]\infty[/mm]
> geht! Und zwar in folgenden Fällen:
>
> [mm]Y_{1}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)}+j\cdot n+2\cdot n+1\right)\cdot\left(m-c\cdot n\right)}{\left(4\cdot n\cdot\left(j\cdot\left(n+1\right)+n\right)\right)}[/mm]
>
> und
> [mm]Y_{2}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)}-j\cdot n-2\cdot n-1\right)\cdot\left(cn-m\right)}{\left(4\cdot n\cdot\left(j\cdot\left(n+1\right)+n\right)\right)}[/mm]
>
> Dabei sind [mm]c,n,m \in\mathbb{R}[/mm]
>
> Die Funktionen unterscheiden sich schon ein bißchen!
>
> Ist das hier überhaupt möglich zu sagen, was passiert,
> wenn [mm]j[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] läuft?
Ja.
Klammere im Zähler als auch im Nenner j aus,
dann kürzt sich dieses j heraus.
Lasse dann [mm]j \to \infty[/mm] laufen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Fr 24.07.2009 | | Autor: | wiggle |
Ok, ich befolge mal Deine Ratschläge und klammere erstmal das j aus, dann kürzt dieses sich weg und übrig bleibt:
[mm] $Y_{1}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)}\frac{1}{j}+n+\frac{1}{j}2\cdot n+\frac{1}{j}\right)\cdot\left(m-c\cdot n\right)}{4n\cdot\left(\left(n+1\right)+\frac{1}{j}n\right)}$
[/mm]
Wenn ich jetzt [mm] $j\rightarrow\infty$ [/mm] laufen lasse, gilt:
[mm] $\lim Y_{1}=\frac{n\left(m-c\cdot n\right)}{4n\left(n+1\right)}=\frac{\left(m-c\cdot n\right)}{4\left(n+1\right)}$
[/mm]
und analog bei [mm] $Y_{2}$:
[/mm]
[mm] $Y_{2}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)}\frac{1}{j}-n-\frac{1}{j}2\cdot n-\frac{1}{j}\right)\cdot\left(cn-m\right)}{4\cdot n\cdot\left(\left(n+1\right)+\frac{1}{j}n\right)}$
[/mm]
bei [mm] $j\rightarrow\infty$ [/mm] geht [mm] $\lim Y_{2}=\frac{\left(-n\right)\left(cn-m\right)}{4n\left(n+1\right)}=\frac{\left(m-c\cdot n\right)}{4\left(n+1\right)}$
[/mm]
Die Ergebnisse wären sogar gleich 
Ist das korrekt so?
Ich habe noch ein paar Bedenken wegen dem Wurzelterm...
Ist es so, dass [mm] $\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)}\frac{1}{j}$ [/mm] gegen $0$ geht? man muss doch bedenken, dass unter der Wurzel das $j$ quadriert wird!
Danke für jegliche Hilfe!
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Hallo wiggle,
> Ok, ich befolge mal Deine Ratschläge und klammere erstmal
> das j aus, dann kürzt dieses sich weg und übrig bleibt:
>
> [mm]Y_{1}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)}\frac{1}{j}+n+\frac{1}{j}2\cdot n+\frac{1}{j}\right)\cdot\left(m-c\cdot n\right)}{4n\cdot\left(\left(n+1\right)+\frac{1}{j}n\right)}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt [mm]j\rightarrow\infty[/mm] laufen lasse, gilt:
>
> [mm]\lim Y_{1}=\frac{n\left(m-c\cdot n\right)}{4n\left(n+1\right)}=\frac{\left(m-c\cdot n\right)}{4\left(n+1\right)}[/mm]
>
> und analog bei [mm]Y_{2}[/mm]:
>
>
> [mm]Y_{2}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)}\frac{1}{j}-n-\frac{1}{j}2\cdot n-\frac{1}{j}\right)\cdot\left(cn-m\right)}{4\cdot n\cdot\left(\left(n+1\right)+\frac{1}{j}n\right)}[/mm]
>
>
> bei [mm]j\rightarrow\infty[/mm] geht [mm]\lim Y_{2}=\frac{\left(-n\right)\left(cn-m\right)}{4n\left(n+1\right)}=\frac{\left(m-c\cdot n\right)}{4\left(n+1\right)}[/mm]
>
> Die Ergebnisse wären sogar gleich
> Ist das korrekt so?
>
Der Grenzwert von [mm]Y_{1}[/mm] stimmt, den für [mm]Y_{2}[/mm] mußt nochmal nachrechnen.
>
> Ich habe noch ein paar Bedenken wegen dem Wurzelterm...
> Ist es so, dass [mm]\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)}\frac{1}{j}[/mm]
> gegen [mm]0[/mm] geht? man muss doch bedenken, dass unter der Wurzel
> das [mm]j[/mm] quadriert wird!
Du ziehst das j unter der Wurzel heraus.
Dann steht unter der Wurzel kein [mm]j^{2}[/mm] mehr.
>
> Danke für jegliche Hilfe!
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Sa 25.07.2009 | | Autor: | wiggle |
Ok, ich versuche es nochmal:
[mm] $Y_{1}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)}+j\cdot n+2\cdot n+1\right)\cdot\left(m-c\cdot n\right)}{4\cdot n\cdot\left(j\cdot\left(n+1\right)+n\right)}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)}\frac{1}{j}+n+\frac{1}{j}2\cdot n+\frac{1}{j}\right)\cdot j\cdot\left(m-c\cdot n\right)}{4n\cdot j\left(\left(n+1\right)+\frac{1}{j}n\right)}$
[/mm]
[mm] $Y_{1}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)\frac{1}{j^{2}}}+n+\frac{1}{j}2\cdot n+\frac{1}{j}\right)\cdot\left(m-c\cdot n\right)}{4n\cdot\left(\left(n+1\right)+\frac{1}{j}n\right)}=\frac{\left(\sqrt{\left(n^{2}-2\cdot\frac{1}{j}\cdot n+4\cdot n\cdot\frac{1}{j^{2}}+\frac{1}{j^{2}}\right)}+n+\frac{1}{j}2\cdot n+\frac{1}{j}\right)\cdot\left(m-c\cdot n\right)}{4n\cdot\left(\left(n+1\right)+\frac{1}{j}n\right)}$
[/mm]
für $j$ gegen [mm] $\infty$ [/mm] gilt: [mm] $\lim Y_{1}=\frac{\left(n+n\right)\left(m-cn\right)}{4n\left(n+1\right)}=\frac{2n\left(m-cn\right)}{4n\left(n+1\right)}=\frac{\left(m-cn\right)}{2\left(n+1\right)}$
[/mm]
Das wäre dann aber NICHT die Lösung, die ich gestern raus hatte!!!
Jetzt für [mm] $Y_{2}$:
[/mm]
[mm] $Y_{2}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)}-j\cdot n-2\cdot n-1\right)\cdot\left(cn-m\right)}{4\cdot n\cdot\left(j\cdot\left(n+1\right)+n\right)}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)\frac{1}{j^{2}}}-n-\frac{1}{j}\cdot2\cdot n-\frac{1}{j}\right)\cdot j\cdot\left(cn-m\right)}{4\cdot n\cdot j\left(\left(n+1\right)+\frac{1}{j}n\right)}$ [/mm]
[mm] $Y_{2}=\frac{\left(\sqrt{\left(n^{2}-2\cdot\frac{1}{j}\cdot n+4\cdot\frac{1}{j^{2}}\cdot n+\frac{1}{j^{2}}\right)}-n-\frac{1}{j}2\cdot n-\frac{1}{j}\right)\cdot\left(cn-m\right)}{4\cdot n\cdot\left(\left(n+1\right)+\frac{1}{j}n\right)}$ [/mm]
bei [mm] $j\rightarrow\infty$ [/mm] geht [mm] $\lim Y_{2}=\frac{\left(n-n\right)\left(cn-m\right)}{4n\left(n+1\right)}=0$
[/mm]
Könnte das bitte nochmal jemand bestätigen?
Danke!
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Hallo wiggle,
> Ok, ich versuche es nochmal:
>
> [mm]Y_{1}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)}+j\cdot n+2\cdot n+1\right)\cdot\left(m-c\cdot n\right)}{4\cdot n\cdot\left(j\cdot\left(n+1\right)+n\right)}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)}\frac{1}{j}+n+\frac{1}{j}2\cdot n+\frac{1}{j}\right)\cdot j\cdot\left(m-c\cdot n\right)}{4n\cdot j\left(\left(n+1\right)+\frac{1}{j}n\right)}[/mm]
>
> [mm]Y_{1}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)\frac{1}{j^{2}}}+n+\frac{1}{j}2\cdot n+\frac{1}{j}\right)\cdot\left(m-c\cdot n\right)}{4n\cdot\left(\left(n+1\right)+\frac{1}{j}n\right)}=\frac{\left(\sqrt{\left(n^{2}-2\cdot\frac{1}{j}\cdot n+4\cdot n\cdot\frac{1}{j^{2}}+\frac{1}{j^{2}}\right)}+n+\frac{1}{j}2\cdot n+\frac{1}{j}\right)\cdot\left(m-c\cdot n\right)}{4n\cdot\left(\left(n+1\right)+\frac{1}{j}n\right)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Allerdings ist es etwas umständlich, alles im Zähler mit [mm] $\frac{j}{j}$ [/mm] zu multiplizieren. Schneller [mm] $j^2$ [/mm] unter der Wurzel ausklammern und als $j$ herauszuziehen, dann kannst du direkt im Zähler j ausklammern ..
>
> für [mm]j[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] gilt: [mm] $\lim Y_{1}=\frac{\left(\red{n}+n\right)\left(m-cn\right)}{4n\left(n+1\right)}=\frac{2n\left(m-cn\right)}{4n\left(n+1\right)}=\frac{\left(m-cn\right)}{2\left(n+1\right)}$ [/mm]
es stimmt alles unter der Voraussetzung, dass $n>0$ ist!
Es ist nämlich i.A. [mm] $\red{\sqrt{n^2}=|n|}$
[/mm]
Bsp. [mm] $\sqrt{(-2)^2}=2=|-2|\neq [/mm] -2$
>
> Das wäre dann aber NICHT die Lösung, die ich gestern raus
> hatte!!!
Ja, aber diese hier stimmt, zumindest erhalte ich das auch (und sehe auch keinen Fehler in deiner obigen Rechnung)
>
> Jetzt für [mm]Y_{2}[/mm]:
>
> [mm]Y_{2}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)}-j\cdot n-2\cdot n-1\right)\cdot\left(cn-m\right)}{4\cdot n\cdot\left(j\cdot\left(n+1\right)+n\right)}=\frac{\left(\sqrt{\left(j^{2}\cdot n^{2}-2\cdot j\cdot n+4\cdot n+1\right)\frac{1}{j^{2}}}-n-\frac{1}{j}\cdot2\cdot n-\frac{1}{j}\right)\cdot j\cdot\left(cn-m\right)}{4\cdot n\cdot j\left(\left(n+1\right)+\frac{1}{j}n\right)}[/mm]
>
> [mm]Y_{2}=\frac{\left(\sqrt{\left(n^{2}-2\cdot\frac{1}{j}\cdot n+4\cdot\frac{1}{j^{2}}\cdot n+\frac{1}{j^{2}}\right)}-n-\frac{1}{j}2\cdot n-\frac{1}{j}\right)\cdot\left(cn-m\right)}{4\cdot n\cdot\left(\left(n+1\right)+\frac{1}{j}n\right)}[/mm]
>
> bei [mm]j\rightarrow\infty[/mm] geht [mm]\lim Y_{2}=\frac{\left(n-n\right)\left(cn-m\right)}{4n\left(n+1\right)}=0[/mm]
wieder falls $n>0$
>
> Könnte das bitte nochmal jemand bestätigen?
Wie mehrfach erwähnt, gilt das alles hier nur für $n>0$, ansonsten musst du beim Ziehen der Wurzel $|n|$ nehmen ...
Ich sehe gerade, dass in deinem ersten post [mm] $...n\in\IR$ [/mm] steht, dann musst du das wohl noch ein bisschen abändern ...
Deine Rechnungen sind aber bis auf das Ziehen der Wurzel in Ordung ...
>
> Danke!
>
LG
schachuzipus
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