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Grenzwertbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 So 25.01.2009
Autor: Debby

Aufgabe
Berechne, soweit existent, den folgenden Grenzwert:
lim (x [mm] \to [/mm] 1) [mm] x^\bruch{1}{x-1} [/mm]

Hallo!

irgendwie komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Ich habe versucht den Term umzuschreiben, sodass ich L'Hospital anwenden kann, aber das hat auch nicht funktioniert:

lim (x [mm] \to [/mm] 1) [mm] x^{\bruch{1}{x-1}} [/mm] = lim (x [mm] \to [/mm] 1) [mm] e^{\bruch{1}{x-1}*ln x} [/mm]
=lim (x [mm] \to [/mm] 1) [mm] \bruch{ln x}{e^{x-1}} [/mm]

Im Nenner kommt 1 heraus wenn ich nur den Nenner gegen 1 gehen lasse und dann kann man L'Hospital ja nicht anwenden.

Hat da jemand eine Idee??

lg
Debby
        
Bezug
Grenzwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:26 So 25.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Debby,

> Berechne, soweit existent, den folgenden Grenzwert:
>   lim (x [mm]\to[/mm] 1) [mm]x^\bruch{1}{x-1}[/mm]
>  Hallo!
>  
> irgendwie komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter.
> Ich habe versucht den Term umzuschreiben, sodass ich
> L'Hospital anwenden kann [ok]

gute Idee!

> , aber das hat auch nicht funktioniert:
>  
> lim (x [mm]\to[/mm] 1) [mm]x^{\bruch{1}{x-1}}[/mm] = lim (x [mm]\to[/mm] 1)
> [mm]e^{\bruch{1}{x-1}*ln x}[/mm] [ok]
>  =lim (x [mm]\to[/mm] 1) [mm]\bruch{ln x}{e^{x-1}}[/mm]
>  
> Im Nenner kommt 1 heraus wenn ich nur den Nenner gegen 1
> gehen lasse und dann kann man L'Hospital ja nicht anwenden.
>
> Hat da jemand eine Idee??

Ja!

Da die e-Funktion stetig ist, gilt [mm] $\lim\limits_{x\to x_0}e^{f(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}$ [/mm]

Du hast die richtige Darstellung [mm] $x^{\frac{1}{x-1}}=e^{\frac{1}{x-1}\cdot{}\ln(x)}$ [/mm] herausgefunden, damit kann man arbeiten ;-)

Greife dir nun den Exponenten heraus:

[mm] $\frac{1}{x-1}\cdot{}\ln(x)=\frac{ln(x)}{x-1}$ [/mm]

Untersuche nun hiervon den [mm] $\lim\limits_{x\to 1}$ [/mm]

Aber nicht vergessen, diesen GW nachher noch [mm] $e^{GW}$ [/mm] zu nehmen ... (siehe den Kommentar oben zur Stetigkeit der e-Funktion)


>  
> lg
>  Debby


Gruß

schachuzipus
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