Grenzwertbestimmung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Emil2 |
Hallo Ihrs,
ich sitze an dieser Aufgabe schon seit einiger Zeit und mir ist nicht ganz klar, wie ich diesen Grenzwert bestimmen soll. Über einen Tip wäre ich euch sehr dankbar.
[mm] \limes_{\delta\rightarrow 2 \pi m } \bruch{sin^2 (\bruch{N\delta}{2})}{sin^2 (\bruch{\delta}{2})} =N^2
[/mm]
Versucht habe ich es schon mit den Potenzformeln für den sinus sowie die konvergensregeln die wir hatten.
Vielen Dank
Emil
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Ich gehe einmal davon aus, daß [mm]m,N[/mm] ganze Zahlen sind.
Die Funktion [mm]x \mapsto \sin^2{x}[/mm] hat die Periode [mm]\pi[/mm]. Setze
[mm]\delta = 2 \pi m + 2 \varepsilon[/mm] mit [mm]\varepsilon \to 0[/mm]
und forme um:
[mm]\frac{\sin^2{\frac{N \delta}{2}}}{\sin^2{\frac{\delta}{2}}} = \frac{\sin^2{\left( N \pi m + N \varepsilon \right)}}{\sin^2{\left( \pi m + \varepsilon \right)}} = \frac{\sin^2{\left( N \varepsilon \right)}}{\sin^2{\varepsilon}} = \frac{\left( \frac{\sin{(N \varepsilon)}}{N \varepsilon} \right)^2}{\left( \frac{\sin{\varepsilon}}{\varepsilon} \right)^2} \cdot N^2[/mm]
Und jetzt verwende: [mm]\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1[/mm]
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