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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:28 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Zeigen Sie, wenn [mm] a_n\le b_n [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] m, dann gilt
[mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} [/mm] inf [mm] a_n \le \lim_{n\rightarrow \infty} [/mm] inf [mm] b_n$ [/mm] |
Hallo.
Wie kann man das zeigen? Ich meine, für mich ist es plausibel, dass wenn [mm] a_n [/mm] kleiner gleich [mm] b_n [/mm] ist, der lim infimum von [mm] a_n [/mm] auch kleiner gleich lim inf [mm] b_n [/mm] ist. Das ist ja irgendwie augenscheinlich. [mm] a_n [/mm] geht fängt quasi bei 10 an und [mm] b_n [/mm] bis 10 oder höher.
Nur wie siehts hier aus mit mathematisch herleiten oder beweisen?
Vielen Dank
Grüße v.
Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Sa 25.11.2006 | | Autor: | FrankM |
> Zeigen Sie, wenn [mm]a_n\le b_n[/mm] für alle [mm]n\ge[/mm] m, dann gilt
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow \infty} inf a_n \le \lim_{n\rightarrow \infty} inf b_n[/mm]
>
Hallo,
ich würde vorschlagen, dass du einen Widerspruchsbeweis führst. Du nimmst an, das gilt [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} [/mm] inf [mm] a_n [/mm] > [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} [/mm] inf [mm] b_n. [/mm] Darus kannst du dann aber folgern, dass es ein [mm] n_0 [/mm] (>m) gibt, so dass gilt
[mm] inf\{a_n|n>n_0\}>inf\{b_n|n>n_0\}. [/mm] Daraus folgt aber, es existiert ein [mm] n_1>n_0 [/mm] mit [mm] a_{n_1} [/mm] > [mm] b_n [/mm] für alle [mm] n>n_0, [/mm] also insbesondere [mm] a_{n_1}>b_{n_1} [/mm] und da [mm] n_1>m [/mm] gilt, hast du einen Widerspruch gefunden.
Gruß
Frank
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:31 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Also, wenn gilt
$ [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} [/mm] $ inf $ [mm] a_n [/mm] $ > $ [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} [/mm] $ inf $ [mm] b_n. [/mm] $ [mm] $\forall \varepsilon [/mm] >0$ muss gelten [mm] $\forall [/mm] n [mm] \ge n_0: |a_n-a|<\varepsilon$
[/mm]
Selbiges auch für [mm] b_n
[/mm]
Nun st [mm] b_n [/mm] echte Teilmenge von M.
Dann würde doch nach Definition gelten, dass [mm] |a_n|>\br{\varepsilon}{M}
[/mm]
Und da würde wiederum gelten [mm] $|a_n*b_n|=|a_n|*|b_n| [/mm] > [mm] {\varepsilon}{M}*M [/mm] = [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Und dass [mm] $|a_n*b_n|<\varepsilon$ [/mm] ist entgegen der Behauptung, dass [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ist bzw. dass wir mindestens ein Epsilon finden müssen, dass größer als [mm] a_n [/mm] wäre.
Nur ein [mm] n_o [/mm] habe ich da jetzt ja gar nicht benutzt...Ansatz falsch verstanden? :(
Schönen Gruß von
Johann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Fr 22.12.2006 | | Autor: | FrankM |
Hallo,
irgendwie ist mir überhaupt nicht klar was du mit M meinst und daher kann ich deinen Ansatz auch nicht nachvollziehen.
Gruß
Frank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Di 26.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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