Grenzwertaussagen beweisen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Mo 31.03.2008 | | Autor: | es_Jani |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Grenzwertaussagen:
[mm] a)\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+2+3+...+n}{n^2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{n^3}=\bruch{1}{3}
[/mm]
Hinweis: Verwenden Sie die bekannten Summenformeln, um die Summen im Zahler durch kom-
pakte Ausdrucke zu ersetzen. |
Ich glaub ich steh im moment einfach total auf dem Schlauch, weiss nicht wie ich hier ran gehen soll, bzw. was ich machen soll?
Kann mir jemand vielleicht erklaeren was da von mir verlangt wird un wie ich da anfange!?
Danke schon im vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Janeta,
na, mit dem Hinweis steht doch schon die Lösung fast da.
Du musst nur für die jeweiligen Summen in den Zählern eine Formel einsetzen, dann "siehst" du die Grenzwerte schon.
Mal zur (a):
Das habt ihr bestimmt gehabt, was ist denn die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen, also was ist $1+2+3+4+...+n$ oder anders geschrieben [mm] $\sum\limits_{k=1}^nk [/mm] \ \ $ ??
Doch [mm] $\frac{n(n+1)}{2}$
[/mm]
Das muss irgendwo um das Themengebiet "vollständige Induktion" aufgetaucht sein
Damit kannst du dann [mm] $\frac{1+2+3+....+n}{n^2}$ [/mm] schreiben als [mm] $\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}=\frac{n^2+n}{2n^2}$
[/mm]
Davon musst du nun den Grenzwert, also den [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}$ [/mm] bestimmen.
Klammere dazu in Zähler und Nenner [mm] $n^2$ [/mm] aus und benutze die Grenzwertsätze
bei (b) ganz genauso, finde eine geschlossene Formel für die Summe der ersten $n$ Quadratzahlen oder schlage sie nach.
(Falls ihr die nicht hattet, kannst du sie ja zuert mal per vollst. Induktion beweisen...)
Dann das gleiche Procedere wie in (a)
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Beweisen Sie folgende Grenzwertaussagen:
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> [mm]a)\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+2+3+...+n}{n^2}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> b)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1^2+2^2+3^2+...+n^2}{n^3}=\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Hinweis: Verwenden Sie die bekannten Summenformeln, um die
> Summen im Zahler durch kom-
> pakte Ausdrucke zu ersetzen.
> Ich glaub ich steh im moment einfach total auf dem
> Schlauch, weiss nicht wie ich hier ran gehen soll, bzw. was
> ich machen soll?
> Kann mir jemand vielleicht erklaeren was da von mir
> verlangt wird un wie ich da anfange!?
>
> Danke schon im vorraus!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1+2+3+...+n}{n^2}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{n(n+1)}{2}}{n^2}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{2n}=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Die andere Aufgabe läuft analog.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Di 01.04.2008 | | Autor: | es_Jani |
ok..ich stand wirklich auf dem Schlauch ;)
also DANKE fuer die Hilfe!
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