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| Aufgabe | Berechne folgenden Grenzwert
d) [mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{1-\wurzel{1-x^{2}}}{x^{2}} [/mm] |
Ich komm bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter...
L Hospital funkitoniert nicht und eine gescheite termumformung will mir auch net einfallen.
ich hoffe mir kann jmd helfen schreibe nämlich um 13:30 klausur :D
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Hallo NightmareVirus,
> Berechne folgenden Grenzwert
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> d) [mm]\limes_{x\rightarrow0} \bruch{1-\wurzel{1-x^{2}}}{x^{2}}[/mm]
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> Ich komm bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter...
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> L Hospital funkitoniert nicht und eine gescheite
> termumformung will mir auch net einfallen.
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> ich hoffe mir kann jmd helfen schreibe nämlich um 13:30
> klausur :D
Zerlege [mm]x^{2}[/mm] wie folgt:
[mm]x^{2}=\left(1-\wurzel{1-x^{2}}\right)*\left(1+\wurzel{1-x^{2}}\right)[/mm]
Dies gilt nach der 3. binomischen Formel.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo NightmareVirus!
Mein Vorschlag geht in dieselbe Richtung wie Mathepower's Weg. Aber die genannte Umformung sieht man ja nicht unbedingt ...
Bei derartigen Wurzelaufgaben ist es immer wieder hilfreich, den Bruch (oder Term) zu einer 3. binomischen Formel zu erweitern. Hier also mit [mm] $\left(1 \ \red{+} \ \wurzel{1-x^{2}}\right)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Um die Liste zu erweitern, ein etwas verwegener und nicht ganz ernst gemeinter Vorschlag:
[mm]\frac{1 - \sqrt{1 - x^2}}{x^2} = \frac{1}{2} \left( 1 + \left( \frac{\sqrt{1 - x^2} - 1}{x} \right)^2 \right)[/mm]
Der quadrierte Bruch ist der Differenzenquotient der Funktion [mm]f(x) = \sqrt{1 - x^2}[/mm] an der Stelle 0. Der Graph stellt bekanntlich einen Halbkreis dar. Und am höchsten Punkt hat der natürlich die Steigung 0.
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