Grenzwert mit exp < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Sa 14.01.2012 | | Autor: | hilbert |
Ich suche den Grenzwert von folgender Folge:
[mm] a_n [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{e^n})^n
[/mm]
Leider habe ich hier überhaupt keinen plan, ich weiß nach Bernoulli, dass die [mm] a_n \ge [/mm] 1 ist. Und ich glaube der GW ist 1, wie kann ich [mm] \le [/mm] zeigen? Oder habt ihr einen besseren Tipp für mich.
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich suche den Grenzwert von folgender Folge:
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm](1+\bruch{1}{e^n})^n[/mm]
>
> Leider habe ich hier überhaupt keinen plan, ich weiß nach
> Bernoulli, dass die [mm]a_n \ge[/mm] 1 ist.
sind. Aber das ist trivial, da [mm] $1/e^n [/mm] > 0$ stets, und damit ist [mm] $1+1/e^n [/mm] > 1$ und damit bleibt auch [mm] $(1\;+1/e^n)^n [/mm] > [mm] 1\,.$
[/mm]
> Und ich glaube der GW
> ist 1, wie kann ich [mm]\le[/mm] zeigen? Oder habt ihr einen
> besseren Tipp für mich.
Klar ist, dass [mm] $a_n [/mm] > 1$ für alle [mm] $n\,$ [/mm] gilt - s.o., oder meinetwegen auch mit Bernoulli (das ist aber dann so, als wenn man mit Kanonen auf Spatzen schießt!!!).
Ich denke, dass man nun nachweisen kann, dass [mm] $e^n \ge n^2$ [/mm] für alle natürlichen [mm] $n\,.$ [/mm] Damit sieht/begründet man
$$1 < [mm] (1\;+1/e^n)^n \le (1\;+1/n^2)^n\,.$$
[/mm]
Nun kann man sagen, dass für jedes natürlich [mm] $n\,$ [/mm] gilt
[mm] $$(1\;+1/n^2)^n \le \exp(1/n)\,,$$
[/mm]
denn die Folge [mm] $(e_m(x))_m$ [/mm] mit [mm] $e_m(x):=(1\;+x/m)^m$ [/mm] wächst monoton für jedes beliebige, aber feste reelle [mm] $x\,$ [/mm] - ist Dir das bekannt? Falls ja: Versuche mal, meine Behauptung unter Verwendung der Folge [mm] $(e_m(x))_m$ [/mm] zu beweisen (in $^{[1]}$ kannst Du dann nachlesen, wie ich vorgegangen bin) - übrigens: [mm] $e_m(x) \to e^x=\exp(x)$ [/mm] für alle reellen [mm] $x\,.$
[/mm]
Was ist nun [mm] $\lim_{n \to \infty}\exp(1/n)$?
[/mm]
Danach: Einschließkriterium (für Folgen) verwenden.
___________________________________________________________
$^{[1]}$ Für jedes [mm] $x\,$ [/mm] ist [mm] $(e_m(x))_m$ [/mm] monoton wachsend. Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig, aber fest. Dann ist auch [mm] $(e_m(1/n))_m$ [/mm] monoton wachsend. Also gilt [mm] $e_n(1/n) \le e_m(1/n)$ [/mm] für alle natürlichen $m [mm] \ge n\,.$ [/mm] Damit folgt auch
[mm] $$\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n=\left(1+\frac{1/n}{n}\right)^n=e_n(1/n) \le \lim_{m \to \infty}e_m(1/n)=\exp(1/n)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Sa 14.01.2012 | | Autor: | abakus |
> Ich suche den Grenzwert von folgender Folge:
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> [mm]a_n[/mm] = [mm](1+\bruch{1}{e^n})^n[/mm]
>
> Leider habe ich hier überhaupt keinen plan, ich weiß nach
> Bernoulli, dass die [mm]a_n \ge[/mm] 1 ist. Und ich glaube der GW
> ist 1, wie kann ich [mm]\le[/mm] zeigen? Oder habt ihr einen
> besseren Tipp für mich.
>
> Vielen Dank im Voraus
Hallo
ich würde den Exponenten n umformen zu [mm]e^n*\bruch{n}{e^n}[/mm].
Somit erhältst du [mm]a_n=(1+\bruch{1}{e^n})^{e^n*\bruch{n}{e^n}}=((1+\bruch{1}{e^n})^{e^n})^\bruch{n}{e^n}[/mm].
Bei der Grenzwertbildung entsteht e hoch (ein Exponent, der gegen 0 geht).
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Sa 14.01.2012 | | Autor: | Marcel |
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> > Ich suche den Grenzwert von folgender Folge:
> >
> > [mm]a_n[/mm] = [mm](1+\bruch{1}{e^n})^n[/mm]
> >
> > Leider habe ich hier überhaupt keinen plan, ich weiß nach
> > Bernoulli, dass die [mm]a_n \ge[/mm] 1 ist. Und ich glaube der GW
> > ist 1, wie kann ich [mm]\le[/mm] zeigen? Oder habt ihr einen
> > besseren Tipp für mich.
> >
> > Vielen Dank im Voraus
> Hallo
> ich würde den Exponenten n umformen zu
> [mm]e^n*\bruch{n}{e^n}[/mm].
> Somit erhältst du
> [mm]a_n=(1+\bruch{1}{e^n})^{e^n*\bruch{n}{e^n}}=((1+\bruch{1}{e^n})^{e^n})^\bruch{n}{e^n}[/mm].
> Bei der Grenzwertbildung entsteht e hoch (ein Exponent,
> der gegen 0 geht).
Hallo Abakus,
der letzte Satz ist aber gefährlich.
(Ich würde ihn auffassen als
[mm] $$\lim_{n \to \infty}((1+\bruch{1}{e^n})^{e^n})^\bruch{n}{e^n}=(\lim_{n \to \infty}(1+\bruch{1}{e^n})^{e^n})^{\lim\limits_{n \to \infty}\bruch{n}{e^n}}\,.$$
[/mm]
Nach welcher "Rechenregel" gilt das denn allgemein, dass man aus einer "Folge bzgl. Laufindex [mm] $n\,$" [/mm] plötzlich zwei machen kann - bzw. dies jedenfalls so auf die Grenzwertbetrachtung übertragen können soll? Ich finde das nicht trivial. Kann man hier mit "Folgen mit Doppelindex" argumentieren? Ich glaube, in Heuser steht diesbezüglich was ,m Kapitel über Netze darüber. P.S.: Ich meine mit "Folgen mit Doppelindex" Folgen der Bauart [mm] $(a_{k,\ell})_{k,\ell \in \IN}\,.$)
[/mm]
Dennoch ist die Idee auch gut:
Ich würde sagen, es gilt
[mm] $$a_n=(1+\bruch{1}{e^n})^{e^n*\bruch{n}{e^n}}=((1+\bruch{1}{e^n})^{e^n})^\bruch{n}{e^n} \le e^{\bruch{n}{e^n}}\,,$$
[/mm]
weil ja [mm] $\left(\left(1+\frac{1}{e^n}\right)^{e^n}\right)_n$ [/mm] auch (streng) wachsend gegen [mm] $e\,$ [/mm] konvergiert.
Und nun neben $1 < [mm] a_n$ [/mm] auch
[mm] $$\lim_{n \to \infty} e^{\bruch{n}{e^n}}= e^{\lim\limits_{n \to \infty}\bruch{n}{e^n}}=e^0=1$$
[/mm]
benutzen.
Insgesamt:
$$1 < [mm] a_n \le \exp(n/e^n)$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow \lim_{n \to \infty}1=1 \le \lim_{n \to \infty} a_n \le \exp(\lim_{n \to \infty}n/e^n)=e^0=1\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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