Grenzwert mit L'Hospital < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Mo 06.02.2017 | | Autor: | X3nion |
| Aufgabe | | Zu berechnen ist der Grenzwert von [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (x + [mm] \frac{1}{ln(1 - \frac{1}{x})}) [/mm] |
Hallo zusammen! 
Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe, wo ich nicht weiß, wie ich ansetzen soll. Ich habe versucht, über den Ansatz x * ( 1 + [mm] \frac{\frac{1}{x}}{ln(1 - \frac{1}{x})}), [/mm] wobei der Bruchterm in der Klammer ja [mm] "\frac{0}{0}" [/mm] wäre.
Dann könnte man noch t = 1/x substituieren und den lim für t -> 0 bilden.
Ist dieser Ansatz zielführend? Oder habt ihr einen anderen Tipp?
Für Antworten wäre ich wie immer dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Mo 06.02.2017 | | Autor: | fred97 |
Erst formrn wir um:
$x+ [mm] \frac{1}{ln(1 - \frac{1}{x})})= \frac{x ln(1 - \frac{1}{x})+1}{ln(1 - \frac{1}{x})}$.
[/mm]
Dann: $x ln(1 - [mm] \frac{1}{x})= [/mm] ln(1 - [mm] \frac{1}{x})^x \to [/mm] ln(1/e)=-1$ für $x [mm] \to \infty$.
[/mm]
Nun behandle $ [mm] \lim_{x \to \infty} \frac{x ln(1 - \frac{1}{x})+1}{ln(1 - \frac{1}{x})}$ [/mm] im Krankenhaus.
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Die Substitution [mm]x = \frac{1}{t}[/mm] mit [mm]t \to 0, \, t>0[/mm] ist zielführend. Damit rechnet man
[mm]\frac{1}{t} + \frac{1}{\ln(1-t)} = \frac{t + \ln(1-t)}{t \cdot \ln(1-t)} = \frac{t - t - \frac{1}{2} t^2 + O(t^3)}{t \cdot \left(-t + O(t^2) \right)} = \frac{- \frac{1}{2} t^2 + O(t^3)}{-t^2 + O(t^3)} = \frac{- \frac{1}{2} + O(t)}{-1 + O(t)}[/mm]
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[mm]O(t^3)[/mm] steht für irgendeine Funktion, die nach Division durch [mm]t^3[/mm] beschränkt bleibt (hier für [mm]t \to 0[/mm]). Hier verwende ich das als Abkürzung, um in der Potenzreihe alle Glieder ab der dritten Potenz zusammenzufassen. Zum Beispiel:
[mm]\ln(1-t) = -t - \frac{t^2}{2} \underbrace{- \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} - \ldots}_{O(t^3)} = -t - \frac{t^2}{2} + O(t^3)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mi 08.02.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Leopold_Gast,
ich danke dir für deinen anschaulichen Beitrag!
Ich habe soeben die Taylorreihe von ln(1-x) zur Übung nachgerechnet.
Es ist also wie du schreibst ln(1-x) = [mm] \ln(1-t) [/mm] = -t - [mm] \frac{t^2}{2} [/mm] - [mm] \frac{t^3}{3} [/mm] - [mm] \frac{t^4}{4} [/mm] - ...
> Die Substitution x = [mm] \frac{1}{t} [/mm] $ mit $ t [mm] \to [/mm] 0, [mm] \, [/mm] t>0 ist zielführend
1) Gleich mal eine Frage: Wieso setzt du t > 0, kann man das einfach so machen?
In einem Skript habe ich folgendes gefunden:
f(x) = [mm] \summe_{k=0}^{m} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^{k} [/mm] + [mm] r_{m} [/mm] (x) mit dem Approximationsfehler [mm] r_{m}(x) [/mm] = [mm] O(|x-a|^{m+1}),
[/mm]
erst recht also [mm] r_{m}(x) [/mm] = [mm] o(|x-a|^{m})
[/mm]
Dazu habe ich gleich mal eine Frage:
1) Wieso ist dann "erst recht also [mm] r_{m}(x) [/mm] = [mm] o(|x-a|^{m})" [/mm] ?
2) Gibt es Rechenregeln für die Landau-Symbole, sodass t * [mm] O(t^{2}) [/mm] = [mm] O(t^{3}) [/mm] oder Ausklammern von [mm] t^{2} [/mm] bei [mm] -\frac{1}{2}t^{2} [/mm] + [mm] O(t^{3}) [/mm] = [mm] t^{2}(-\frac{1}{2} [/mm] + O(t)) ?
Intuitiv macht es durch aus Sinn, denn wenn eine Funktion f(x) höchstens von der Größenordnung [mm] t^{2} [/mm] ist, so ist t * f(x) höchstens von der Größenordnung [mm] t^{3}. [/mm] Oder wenn f(x) höchstens von der Ordnung [mm] t^{3} [/mm] ist, dann ist f(x) / [mm] t^{2} [/mm] höchstens von der Ordnung t.
Wäre der Gedankengang soweit korrekt?
Und zu guter Letzt: Ist [mm] \frac{- \frac{1}{2} + O(t)}{-1 + O(t)} [/mm] = 1/2 für
t [mm] \rightarrow [/mm] 0,
weil lim O(t) = 0 für t -> 0 ?
Viele Grüße,
X3nion
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Hiho,
> 1) Gleich mal eine Frage: Wieso setzt du t > 0, kann man
> das einfach so machen?
Weil du [mm] $x\to\infty$ [/mm] berechnest, was nach der Substitution $x = [mm] \frac{1}{t}$ [/mm] eben äquivalent ist zu [mm] $t\to [/mm] 0, t>0$. Das "kann" man nicht nur "einfach so machen", das muss man sogar!
Mach dir das klar an einem einfacheren Beispiel:
Offensichtlich ist: [mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] x = [mm] +\infty$. [/mm] Substitutieren wir nun wieder $x = [mm] \frac{1}{t}$ [/mm] ohne die Bedingung $t>0$ hätten wir [mm] $\lim_{t \to 0} \frac{1}{t}$. [/mm] Der Ausdruck würde aber [mm] $+\infty$ [/mm] für $t>0$ und [mm] $-\infty$ [/mm] für $t<0$ ergeben. Demzufolge ist das $t>0$ notwendig um die Substitution korrekt durchzuführen.
> In einem Skript habe ich folgendes gefunden:
>
> f(x) = [mm]\summe_{k=0}^{m} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^{k}[/mm] + [mm]r_{m}[/mm] (x) mit dem Approximationsfehler [mm]r_{m}(x)[/mm] = [mm]O(|x-a|^{m+1}),[/mm]
> erst recht also [mm]r_{m}(x)[/mm] = [mm]o(|x-a|^{m})[/mm]
>
> Dazu habe ich gleich mal eine Frage:
>
> 1) Wieso ist dann "erst recht also [mm]r_{m}(x)[/mm] = [mm]o(|x-a|^{m})"[/mm] ?
Weil es so ist!
Deine Frage ist also schlecht gestellt 
Hilfreich wäre es sich hier mal die ![[]](/images/popup.gif) exakten Definitionen der Landau-Notationen anzuschauen, anstatt nur deine intuitiven.
Damit kann man dann auch deine zweite Fragen
> 2) Gibt es Rechenregeln für die Landau-Symbole
sehr leicht beantworten.
Im Übrigen schreibe ich analog zur Wikipedia lieber [mm] $\in$ [/mm] statt $=$, da es sich eben um Mengen von Funktionen handelt, aber die Literatur ist da leider nicht eindeutig.
Nun also zu deiner ersten Frage:
[mm] $r_m(x) \in O(|x-a|^{m+1}) \quad\gdw\quad \limsup_{x\to a} \left|\frac{r_m(x)}{|x-a|^{m+1}}\right| [/mm] < C$
Dann gilt aber auch:
[mm] $\limsup_{x\to a} \left|\frac{r_m(x)}{|x-a|^{m}}\right| [/mm] = [mm] \limsup_{x\to a} [/mm] |x-a| [mm] \left|\frac{r_m(x)}{|x-a|^{m+1}}\right| [/mm] = 0 * C = 0$
d.h. [mm] $r_m(x) \in o(|x-a|^{m+1})$
[/mm]
Lass dich nicht davon verwirren, dass in der Definition von $o(g)$ ein [mm] $\lim$ [/mm] steht und ich hier [mm] $\limsup$ [/mm] verwende. Das ist äquivalent, da der [mm] $\limsup$ [/mm] eines Betrags gleich Null ist, wenn der [mm] $\lim$ [/mm] existiert und ebenfalls Null ist.
> Intuitiv macht es durch aus Sinn, denn wenn eine Funktion
> f(x) höchstens von der Größenordnung [mm]t^{2}[/mm] ist, so ist t
> * f(x) höchstens von der Größenordnung [mm]t^{3}.[/mm] Oder wenn
> f(x) höchstens von der Ordnung [mm]t^{3}[/mm] ist, dann ist f(x) /
> [mm]t^{2}[/mm] höchstens von der Ordnung t.
> Wäre der Gedankengang soweit korrekt?
Das kannst du ja nun mal mit Grenzwertsätzen oben selbst nachrechnen, aber ich glaube Kürzen in Brüchen solltest du beherrschen
> Und zu guter Letzt: Ist [mm]\frac{- \frac{1}{2} + O(t)}{-1 + O(t)}[/mm] = 1/2 für t [mm]\rightarrow[/mm] 0,
> weil lim O(t) = 0 für t -> 0 ?
Das kannst du nun selbst versuchen mathematisch zu beweisen.
Also um deine Frage mal mathematisch zu stellen: Ist $f [mm] \in [/mm] O(t)$ (für a=0) , so ist [mm] $\lim_{t\to 0} [/mm] f(t) = 0$
Zeige das, am einfachsten per Widerspruchsbeweis.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Fr 10.02.2017 | | Autor: | X3nion |
Hiho Gono
Danke für deinen erneut so ausführlichen Beitrag!
> Hiho,
>
> > 1) Gleich mal eine Frage: Wieso setzt du t > 0, kann man
> > das einfach so machen?
>
> Weil du [mm]x\to\infty[/mm] berechnest, was nach der Substitution [mm]x = \frac{1}{t}[/mm]
> eben äquivalent ist zu [mm]t\to 0, t>0[/mm]. Das "kann" man nicht
> nur "einfach so machen", das muss man sogar!
>
> Mach dir das klar an einem einfacheren Beispiel:
>
> Offensichtlich ist: [mm]\lim_{x\to\infty} x = +\infty[/mm].
> Substitutieren wir nun wieder [mm]x = \frac{1}{t}[/mm] ohne die
> Bedingung [mm]t>0[/mm] hätten wir [mm]\lim_{t \to 0} \frac{1}{t}[/mm]. Der
> Ausdruck würde aber [mm]+\infty[/mm] für [mm]t>0[/mm] und [mm]-\infty[/mm] für [mm]t<0[/mm]
> ergeben. Demzufolge ist das [mm]t>0[/mm] notwendig um die
> Substitution korrekt durchzuführen.
Ach Mensch bin ich blöd, klar!! ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
> > In einem Skript habe ich folgendes gefunden:
> >
> > f(x) = [mm]\summe_{k=0}^{m} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^{k}[/mm] +
> [mm]r_{m}[/mm] (x) mit dem Approximationsfehler [mm]r_{m}(x)[/mm] =
> [mm]O(|x-a|^{m+1}),[/mm]
> > erst recht also [mm]r_{m}(x)[/mm] = [mm]o(|x-a|^{m})[/mm]
> >
> > Dazu habe ich gleich mal eine Frage:
> >
> > 1) Wieso ist dann "erst recht also [mm]r_{m}(x)[/mm] = [mm]o(|x-a|^{m})"[/mm]
> ?
> Weil es so ist!
> Deine Frage ist also schlecht gestellt
> Hilfreich wäre es sich hier mal die
> exakten Definitionen der Landau-Notationen
> anzuschauen, anstatt nur deine intuitiven.
> Damit kann man dann auch deine zweite Fragen
>
> > 2) Gibt es Rechenregeln für die Landau-Symbole
> sehr leicht beantworten.
Danke für den Link :)
Im Forster steht das leider nicht so ausführlich drin.
Zu den Rechenregeln: Ist es nun so, dass wenn z.B.
Bedingung a) f(x) [mm] \in O(x^{3}) [/mm] für x -> a < [mm] \infty [/mm] <=> es existieren C > 0 und [mm] \delta [/mm] > 0, sodass [mm] \forall [/mm] x mit |x-a| < [mm] \delta: [/mm] |f(x)| [mm] \le [/mm] C * [mm] |x^{3}| [/mm] bzw. [mm] \frac{|f(x)|}{|x^{3}|} \le [/mm] C,
dass dann (für [mm] x\not=0) |\frac{f(x)}{x}| \in O(\frac{x^{3}}{x}) [/mm] = [mm] O(x^{2}), [/mm] weil [mm] \frac{|\frac{f(x)}{x}|}{|x^{2}|} [/mm] = [mm] \frac{|f(x)|}{|x^{3}|}, [/mm] und damit an obiger Bedingung a) nichts verändert wird?
Und Analoges gilt für f(x) * x und für andere Veränderungen der Funktion?
Weiter unten rechne ich das ganze mal ohne Quantoren, sondern mit lim und lim sup.
>
> Im Übrigen schreibe ich analog zur Wikipedia lieber [mm]\in[/mm]
> statt [mm]=[/mm], da es sich eben um Mengen von Funktionen handelt,
> aber die Literatur ist da leider nicht eindeutig.
Okay ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun also zu deiner ersten Frage:
> [mm]r_m(x) \in O(|x-a|^{m+1}) \quad\gdw\quad \limsup_{x\to a} \left|\frac{r_m(x)}{|x-a|^{m+1}}\right| < C[/mm]
>
> Dann gilt aber auch:
>
> [mm]\limsup_{x\to a} \left|\frac{r_m(x)}{|x-a|^{m}}\right| = \limsup_{x\to a} |x-a| \left|\frac{r_m(x)}{|x-a|^{m+1}}\right| = 0 * C = 0[/mm]
>
> d.h. [mm]r_m(x) \in o(|x-a|^{m+1})[/mm]
Hierzu habe ich noch eine kurze Frage: du schreibst [mm] \limsup_{x\to a} \left|\frac{r_m(x)}{|x-a|^{m+1}}\right| [/mm] < C.
Wieso kann man dann schreiben [mm] \limsup_{x\to a} [/mm] |x-a| [mm] \left|\frac{r_m(x)}{|x-a|^{m+1}}\right| [/mm] = 0 * C,
obwohl [mm] \limsup_{x\to a} \left|\frac{r_m(x)}{|x-a|^{m+1}}\right| [/mm] < C?
> Lass dich nicht davon verwirren, dass in der Definition von
> [mm]o(g)[/mm] ein [mm]\lim[/mm] steht und ich hier [mm]\limsup[/mm] verwende. Das ist
> äquivalent, da der [mm]\limsup[/mm] eines Betrags gleich Null ist,
> wenn der [mm]\lim[/mm] existiert und ebenfalls Null ist.
Okay ja das macht Sinn! Ist es so, dass wenn der lim existiert, dass dann lim sup = lim inf = lim gilt?
> > Intuitiv macht es durch aus Sinn, denn wenn eine Funktion
> > f(x) höchstens von der Größenordnung [mm]t^{2}[/mm] ist, so ist t
> > * f(x) höchstens von der Größenordnung [mm]t^{3}.[/mm] Oder wenn
> > f(x) höchstens von der Ordnung [mm]t^{3}[/mm] ist, dann ist f(x) /
> > [mm]t^{2}[/mm] höchstens von der Ordnung t.
> > Wäre der Gedankengang soweit korrekt?
>
> Das kannst du ja nun mal mit Grenzwertsätzen oben selbst
> nachrechnen, aber ich glaube Kürzen in Brüchen solltest
> du beherrschen
Jetzt noch kurz dazu am obigen Beispiel:
f(x) [mm] \in O(x^{3}) [/mm] für x -> a < [mm] \infty [/mm] <=> [mm] \limsup_{x\rightarrow a} \left|\frac{f(x)}{x^{3}}\right| [/mm] < [mm] \infty.
[/mm]
Dann ist aber auch [mm] \limsup_{x\rightarrow a} \left|\frac{\frac{f(x)}{x}}{x^{2}}\right| [/mm] = [mm] \limsup_{x\to a} \left|\frac{f(x)}{x^{3}}\right| [/mm] < [mm] \infty [/mm] und somit [mm] \frac{f(x)}{x} \in O(x^{2})
[/mm]
Wäre das soweit korrekt?
> > Und zu guter Letzt: Ist [mm]\frac{- \frac{1}{2} + O(t)}{-1 + O(t)}[/mm]
> = 1/2 für t [mm]\rightarrow[/mm] 0,
> > weil lim O(t) = 0 für t -> 0 ?
>
> Das kannst du nun selbst versuchen mathematisch zu
> beweisen.
> Also um deine Frage mal mathematisch zu stellen: Ist [mm]f \in O(t)[/mm]
> (für a=0) , so ist [mm]\lim_{t\to 0} f(t) = 0[/mm]
>
> Zeige das, am einfachsten per Widerspruchsbeweis.
Okay, nun sei f [mm] \in [/mm] O(t) für t -> a = 0, aber [mm] \lim_{t\to 0} [/mm] f(t) [mm] \not= [/mm] 0. Dann wäre [mm] \limsup_{t \to 0} \left|\frac{f(t)}{t}\right| [/mm] = [mm] \infty [/mm] im Widerspruch zur Voraussetzung f [mm] \in [/mm] O(t) [mm] \gdw \limsup_{t \to 0} \left|\frac{f(t)}{t}\right| [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Also muss doch [mm] \lim_{t\to 0} [/mm] f(t) = 0 gelten.
> Gruß,
> Gono
Viele Grüße,
X3nion
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Hiho,
> Danke für den Link :)
> Im Forster steht das leider nicht so ausführlich drin.
>
> Zu den Rechenregeln: Ist es nun so, dass wenn z.B.
>
> Bedingung a) f(x) [mm]\in O(x^{3})[/mm] für x -> a < [mm]\infty[/mm] <=> es
> existieren C > 0 und [mm]\delta[/mm] > 0, sodass [mm]\forall[/mm] x mit |x-a|
> < [mm]\delta:[/mm] |f(x)| [mm]\le[/mm] C * [mm]|x^{3}|[/mm] bzw.
> [mm]\frac{|f(x)|}{|x^{3}|} \le[/mm] C,
>
> dass dann (für [mm]x\not=0) |\frac{f(x)}{x}| \in O(\frac{x^{3}}{x})[/mm]
> = [mm]O(x^{2}),[/mm] weil [mm]\frac{|\frac{f(x)}{x}|}{|x^{2}|}[/mm] =
> [mm]\frac{|f(x)|}{|x^{3}|},[/mm] und damit an obiger Bedingung a)
> nichts verändert wird?
Jo, letztendlich läuft es eigentlich nur aufs kürzen von Brüchen hinaus.
Rein faktisch kannst du das auch statt mit $x$ mit jeder beliebigen Funktion $h(x) [mm] \not= [/mm] 0$ multiplizieren, denn diese kürzt sich auch raus.
Also mit $f [mm] \in [/mm] O(g)$ wäre $fh [mm] \in [/mm] O(gh)$
> Hierzu habe ich noch eine kurze Frage: du schreibst
> [mm]\limsup_{x\to a} \left|\frac{r_m(x)}{|x-a|^{m+1}}\right|[/mm] <
> C.
> Wieso kann man dann schreiben [mm]\limsup_{x\to a}[/mm] |x-a|
> [mm]\left|\frac{r_m(x)}{|x-a|^{m+1}}\right|[/mm] = 0 * C,
> obwohl [mm]\limsup_{x\to a} \left|\frac{r_m(x)}{|x-a|^{m+1}}\right|[/mm]
> < C?
Du hast recht. Sauber wäre gewesen da ein [mm] $\le$ [/mm] zu schreiben, was aber nachher auf einen Ausdruck der Form $$0 [mm] \le \ldots \le [/mm] 0*C = 0$$ hinausgelaufen wäre. D.h. der Grenzwert wäre trotzdem Null.
ODER zu definieren $ [mm] r_m(x) \in O(|x-a|^{m+1}) \quad\gdw\quad \limsup_{x\to a} \left|\frac{r_m(x)}{|x-a|^{m+1}}\right| [/mm] = C $ für ein $C [mm] \ge [/mm] 0$
Beides ist aber äquivalent und spielt letztendlich keine Rolle. Trotzdem: Gut aufgepasst.
> Okay ja das macht Sinn! Ist es so, dass wenn der lim
> existiert, dass dann lim sup = lim inf = lim gilt?
Ja, in allgemeinen Räumen ist der Grenzwert sogar so definiert, d.h: Der Grenzwert einer Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] existiert, genau dann, wenn der [mm] \limsup [/mm] gleich dem [mm] \liminf [/mm] ist und dieser Wert wird als Grenzwert festgesetzt.
In [mm] $\IR$ [/mm] kann man sehr leicht zeigen, dass die Definition identisch ist, was auch sofort klar ist, denn: Eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert genau dann gegen [mm] $a\in \IR$, [/mm] wenn [mm] $|a_n [/mm] - a|$ eine Nullfolge ist. Für Betragsfolgen [mm] $(|a_n|)_{n\in\IN}$ [/mm] gilt aber trivialerweise:
$0 [mm] \le \liminf |a_n| \le \limsup |a_n|$ [/mm] und ist [mm] $\limsup |a_n|$ [/mm] nun eine Nullfolge, folgt sofort [mm] $\limsup |a_n| [/mm] = [mm] \liminf |a_n|$.
[/mm]
> Jetzt noch kurz dazu am obigen Beispiel:
>
> f(x) [mm]\in O(x^{3})[/mm] für x -> a < [mm]\infty[/mm] <=>
> [mm]\limsup_{x\rightarrow a} \left|\frac{f(x)}{x^{3}}\right|[/mm] <
> [mm]\infty.[/mm]
> Dann ist aber auch [mm]\limsup_{x\rightarrow a} \left|\frac{\frac{f(x)}{x}}{x^{2}}\right|[/mm]
> = [mm]\limsup_{x\to a} \left|\frac{f(x)}{x^{3}}\right|[/mm] < [mm]\infty[/mm]
> und somit [mm]\frac{f(x)}{x} \in O(x^{2})[/mm]
>
> Wäre das soweit korrekt?
> > Zeige das, am einfachsten per Widerspruchsbeweis.
>
> Okay, nun sei f [mm]\in[/mm] O(t) für t -> a = 0, aber [mm]\lim_{t\to 0}[/mm]
> f(t) [mm]\not=[/mm] 0. Dann wäre [mm]\limsup_{t \to 0} \left|\frac{f(t)}{t}\right|[/mm]
> = [mm]\infty[/mm] im Widerspruch zur Voraussetzung f [mm]\in[/mm] O(t) [mm]\gdw \limsup_{t \to 0} \left|\frac{f(t)}{t}\right|[/mm]
> < [mm]\infty.[/mm] Also muss doch [mm]\lim_{t\to 0}[/mm] f(t) = 0 gelten.
Manchmal ist es so einfach
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Sa 18.02.2017 | | Autor: | X3nion |
Hi zusammen,
vielen Dank nochmals für eure Beiträge! Nun ist mir vieles klarer geworden
Gruß X3nion
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