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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 So 22.05.2005 | | Autor: | TobiasBe |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
Ich beweise gerade, ob es Grenzwerte für Funktionen mit zwei Variablen gibt, die wie folgt definiert sind:
[mm]f: \{(x, y) \in \IR^{2}: x>0, y>0\} \to \IR [/mm]
und der Grenzwert für (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0) ist.
Ich weiss nun, dass der Grenzwert existiert wenn die Werte von f(x,y) gegen einen bestimmten Wert A streben, egal auf welchem Wege dies erfolgt.
Nun habe ich als simples Beispiel mal diese Funktion:
[mm]f(x, y) = \bruch{x}{y}sinx [/mm]
Ich wähle mir hier nun die Folgen für die x=ay, mit a fest und aus [mm] \IR.
[/mm]
Setzte ich das ein, habe ich die Formel
a*sin(ay)
Wenn ich hier (x,y) gegen (0,0) laufen lasse, läuft der Wert in der Klammer gegen Null, somit der Sinus ebenfalls und somit ist a mal der sinus ebenfalls Null.
Also behaupt ich, dass der Grenzwert A=0 ist.
Meine Frage: Ist dies ein vollständiger Beweis dafür?
Kann ich daraus wirklich folgern, dass das für alle Folgen gilt?
Gibt es eine andere (bessere) Möglichkeit den Beweis durchzuführen?
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Probiere es mal mit [mm] x_n [/mm] = 1/n und [mm] y_n [/mm] = [mm] 1/n^2 [/mm] und berechne lim [mm] f(x_n,y_n)
[/mm]
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Hallo!
Grundsätzlich reicht es nicht, nur eine Folge zu betrachten. Diese kannst du dir dann ja gerade so definieren, dass es klappt.
Wie holy_diver schon bemerkt hatte, geht es mit den Folgen [mm] $x_n=\bruch{1}{n}$ [/mm] und [mm] $y_n=\bruch{1}{n^2}$ [/mm] auch prompt schief, weil die Folge [mm] $n\sin\left(\bruch{1}{n}\right)$ [/mm] gar nicht konvergiert. Das ist allerdings kein besonders gutes Beispiel, weil diese Folge nicht besonders leicht zu untersuchen ist. Aber zum Beispiel die Folge [mm] $x_n=\bruch{1}{n}$, $y_n=\bruch{\sin(n)}{n^2}$ [/mm] ergibt [mm] $f(x_n;y_n)=n\to\infty$...
[/mm]
Um bei einer Funktion nachzuweisen, dass sie für [mm] $(x,y)\to [/mm] (0,0)$ gegen $(0,0)$ konvergiert, müsstest du dir also ganz allgemein eine Folge wählen mit [mm] $\|(x_n,y_n)\|\to [/mm] 0$.
Gruß, banachella
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