Grenzwert links, rechts < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Uch habe mal eine kurze und knappe Frage zum links und rechtsseitigen Grenzwert! Und zwar wende ich diesen ja mit der h-Methode an um zu gucken, ob eine Funktion Stetig ist oder nicht. Dies kann ich ja eigentlich nur bei gebrochen rationalen Funktionen machen, da ja eigentlich nur diese Polstellen haben oder bei der Komposition mehrere Funktionen an einer STlle x. Jetzt meine Frage. Wenn ich die Stetigkeit sagen wir mal zweier kompositionierten Funktionen überprüfen möchte und die h-Methode anwende, muss ich dann den links und rechtsseitigen Grenzwert sowie an der einen, als auch an der anderen Funtkion durchführen oder muss ich den linksseitigen Grenzwert an meiner Funktion durchführen die von links kommt und den rechtsseitigen Grenzwert an meiner Funktion durchführen die dann nach rechts weiter verläuft?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Mi 02.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn ne fkt links von x=a durch einen Ausdruck A(x) definiert ist, rechts durch einen anderen B(x), dann ist der rechte GW von A(x) für die fkt von keinerlei Bedeutung, wels sie rechts von a ja gar nicht durch A(x) definiert ist.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Okay probiern wir mal an einem Beispiel:
[mm] f(x)=x^2, [/mm] für x<0
f(x)=x, für x>0
Hier wäre es jetzt sinnvoll an der Stelle 0 auf Stetigkeit zu überprüfen. Welche Grenzwerte müsste ich jetzt deiner Meinung nach anwenden? ich würde für [mm] x^2 [/mm] den links und rechtsseitigen an der Stelle 0 und für x ebenfalls den links und rechtsseitigen Grenzwert an der STelle 0 überprüfen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Mi 02.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] f(x)=x^2 [/mm] für x<0 also ist der linke GW für x gegen 0 der von [mm] x^2, [/mm] denn du suchst ja den linken GW von f(x) und nicht von g(x)=x f(x) ist links von 0 einfach [mm] x^2 [/mm] und "weiss" nix von der Def. auf der rechten Seite, egal was f(x)für x>0 ist!
entsprechend "kenntf(x) für x>0 nur die Funktionswerte von x und weiss nix von [mm] x^2.
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
tut mir leid aber ich versteh die antwort immer nicht so ganz. Ich wollte iegtnlich nur wissen, ob ich beide Funktionen auf links- und rechtsseitigen Grenzwert überprüfen muss. Wenn nicht, welche Funktion untersuche ich dann auf was?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Jorgi |
Hallo,
ich hoffe ich habe das Problem verstanden.
Also es geht um ..
[mm] $f(x)=\begin{cases} x^2, & \mbox{für } x < 0\\ x, & \mbox{für } x \ge 0 \end{cases}$
[/mm]
Dann ist diese Funktion stetig in $0$ genau dann, wenn im Punkte $0$ der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert exisitiert, und wenn diese gleich sind
$f$ stetig [mm] $\gdw \limes_{x\rightarrow 0^{+}} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow 0^{-}} [/mm] f(x)$
|
|
|
| |
|
Genau so kenne ich das auch.
Also würde ich jetzt den linksseitigen füe meine erste Funktion [mm] (x^2) [/mm] und meinen rechtsseitigen füe meine zweite Funktion (x) durchführen. Und wenn diese übereinstimmen, dann treffen die sich suzusagen an dieser Stelle und sind somit Stetig.
Ich habe jetzt nur noch ein Problem. Ich benutze immer die Formel [mm] \bruch{f(x)-f(a)}{x-a}. [/mm] Kann man diese Formel auch für den links und rechtsseitigen Grenzwert anwenden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Jorgi |
Hallo,
deine angegeben Formel ist der Differenzenquotient.
Den brauchst du, um nachzuweisen, dass die Funktion im Punkte $a$ differenzierbar ist. Für die Stetigkeit nicht unbedingt erforderlich.
Um zu zeigen, dass der rechtsseitige Grenzwert von $f$ im Punkte $0$ exisitert, geht man wie folgt vor:
Betrachte irgendeine Folge [mm] $(x_n)$, [/mm] die sich von rechts der Null nähert.
Dann untersuchst du, wie sich die Folge [mm] $(f(x_n))$ [/mm] verhält, halt ob sie konvergiert und falls sie das tut, gegen welchen Wert.
Dies darf keine konkrete Folge sein, etwa $1/n$. Dies muss ausdürcklich für alle Folgen gelten. Sie darf nur die eine Eigenschaft haben, und zwar dass sie von rechts gegen $0$ konvergiert.
Analog macht man das ganze nochmal für den Fall, das sich die Folgen von links der Null nähern.
Dann muss man nur noch gucken, ob die zwei resultierenden Grenzwerte gleich sind
|
|
|
| |
|
Okay dann habe ich das richtig verstanden. Könnest du mir bitte, da mir irgendwie der Überblick dafür fehlt mal folgendes Beispiel berechnen? Wäre echt nett ich mach mal, soweit mir das klar ist selber.
[mm] f(x)=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x < 0 \mbox{} \\ x-1, & \mbox{für } x > 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
linksseitiger bedeutet in dem Fall, dass ich von links an die Stelle x=0
und rechtsseitiger bedeutet, dass ich von rechts an die Stelle x=0 herankomme. ich müsste dann dazustehen haben:
linksseitiger: [mm] \limes_{h\rightarrow\0^-}f(x)=0-h+1=1
[/mm]
rechtsseitiger: [mm] \limes_{h\rightarrow\0^+}=0+h-1=-1
[/mm]
links- und rechtsseitiger Grenzwert sind nicht gleich. Demnach unstetig.
Also so würde ich das rechnen. Wäre das Formal in Ordnung oder könnte mich das irgendwann mal in schwierigkeiten bringen? 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Do 03.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Rechnung ist so richtig, ich seh nicht, wie du dabei je in Schwierigkeiten kommen kannst.Da deine fkt aber bei x=0 garnicht definiert ist, könntest du im Falle rechtseitiger=linksseitiger GW nur sagen man kann sie in 0 stetig ergänzen. meist ist bei solchen Aufgaben auch noch ein wert an der "kritischen" Stelle vorgegeben. also hier etwa f(0)=1 Dann kann man sagen, sie ist in 0 linksseitig stetig, weil der GW mit dem Funktionswert übereinstimmt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ja von der stetigen Ergänzung hatte ich auch mal was gelesen hatten darüber allerdings nicht in der Analysis 1 VL gesprochen. Ist das dann Inhalt der
Analysis 2 VL oder muss ich sowas von vornherein können?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Do 03.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das gehört eigentlich einfach zur Stetigkeit, und sicher nicht in ne VL2. Sind in euren Beispielen denn die definitionen immer nur ohne den "kritischen" Punkt?
[mm] f(x)=\bruch{x^2-1}{x+1} [/mm] ist bei x=-1 nicht definiert, kann aber leicht mit f(-1)=0 zu einer stetigen fkt. "ergänzt" werden. Funktionen, die wie dein Beispiele in einem Punkt gar nicht definiert sind sind da auch nicht stetig, denn stetig heisst ja GW=Funktionswert!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hm komisch. hatten wir irgendwie wirklich noch nicht... Aber dürfte ja nicht schwer sein sich das noch irgendwie anzueignen. So weit ich weiß war das garnicht so kompliziert was ich darüber gelesen hatte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Do 03.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ist die Frage?
Ich glaub nicht wirklich dass bei euch fktn. untersucht werden , wie deine Beispiele, di in einem Punkt z.Bsp x=0 nicht definiert sind. Sieh dir lieber nochmal echte Aufgaben, die ihr gemacht habt an.
also etwa f(x)=x für x<0 [mm] f(x)=x^2 [/mm] für [mm] x\ge0 [/mm] wär ne vernünftigere definition einer fkt.
Gruss leduart
|
|
|
|
