Grenzwert l'Hospital? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] log [mm] [(\bruch{x+1}{x-1})^x]
[/mm]
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Hallo,
iwie komme ich zu keinem vernünftigen Ergebnis. Plotten hat mir den Grenzwert [mm] e^2 [/mm] nahe gelegt.
Mit l'Hospital bin ich nach der 1. Ableitung von [mm] (x+1)^x [/mm] sowie [mm] (x-1)^x [/mm] nicht mehr weiter gekommen, und ich vermute mal dass es einfacher geht.
Mein 2. Ansatz beruht auf der Kovnergenz von (1 + [mm] \bruch{1}{x})^x \to [/mm] e
Denn:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] log [mm] [(\bruch{x+1}{x-1})^x]
[/mm]
= log [ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{x+1}{x-1})^x]
[/mm]
= log [ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{x-1}{x-1}+ \bruch{2}{x-1} )^x]
[/mm]
= log [ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] (1+ [mm] \bruch{2}{x-1} )^x]
[/mm]
[mm] \to [/mm] log [mm] [e^2]
[/mm]
Irgendwie werde ich den Logarithmus aber nich los. und der muss meiner ansicht nach noch verschwinden!
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Hallo NV,
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] log [mm][(\bruch{x+1}{x-1})^x][/mm]
>
> Hallo,
> iwie komme ich zu keinem vernünftigen Ergebnis. Plotten
> hat mir den Grenzwert [mm]e^2[/mm] nahe gelegt.
> Mit l'Hospital bin ich nach der 1. Ableitung von [mm](x+1)^x[/mm]
> sowie [mm](x-1)^x[/mm] nicht mehr weiter gekommen, und ich vermute
> mal dass es einfacher geht.
>
> Mein 2. Ansatz beruht auf der Kovnergenz von (1 + [mm]\bruch{1}{x})^x \to[/mm] e
Das ist vielversprechned!
>
> Denn:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] log [mm][(\bruch{x+1}{x-1})^x][/mm]
> = log [ [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{x+1}{x-1})^x][/mm]
Das solltest du kurz begründen
>
> = log [ [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{x-1}{x-1}+ \bruch{2}{x-1} )^x][/mm]
>
> = log [ [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch{2}{x-1} )^x][/mm]
>
> [mm]\to[/mm] log [mm][e^2][/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Irgendwie werde ich den Logarithmus aber nich los. und der
> muss meiner ansicht nach noch verschwinden!
Tut er doch, wenn du mit [mm] $\log$ [/mm] den [mm] $\ln$ [/mm] meinst, bist du fertig und hast als GW halt 2, falls [mm] $\log$ [/mm] den dekad. Log meint, rechne um in den [mm] $\ln$ [/mm] ...
(Basisumrechnung)
LG
schachuzipus
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Der Grenzwert 2 kann aber nicht stimmen, da wie gesagt der Funktionsgraph recht schnell "konstant" 7,39.... also [mm] e^2 [/mm] ist.
Das kann man für f(1000), f(2000) und f(10000) machen. (ich weiss das ist kein Beweis) aber unterstreicht eignetlich die Vermutung, dass 2 nicht der Grenzwert sein kann!
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Hallo,
> Der Grenzwert 2 kann aber nicht stimmen, da wie gesagt der
> Funktionsgraph recht schnell "konstant" 7,39.... also [mm]e^2[/mm]
> ist.
Hast du den log davor gesetzt?
Ich habe beiden Graphen (für Log=dek. Log und Log=ln) mal plotten lassen ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Das kann man für f(1000), f(2000) und f(10000) machen.
> (ich weiss das ist kein Beweis) aber unterstreicht
> eignetlich die Vermutung, dass 2 nicht der Grenzwert sein
> kann!
LG
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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argh ^^
war ja klar dass ich was vergessen hab ;) man sollte sich also nach wie vor eher auf seine Rechnugn, als auf das (falsch getippte) im Taschenrechner oder Plotter verlassen.
Dann ist ja jetzt alles kla.
Danke für deine Mühe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Mit l'Hospital bin ich nach der 1. Ableitung von [mm](x+1)^x[/mm]
> sowie [mm](x-1)^x[/mm] nicht mehr weiter gekommen, und ich vermute
> mal dass es einfacher geht.
Du kannst folgende Umformung vornehmen:
[mm] $\log\left(\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^x\right)$
[/mm]
[mm] $=x\cdot\log\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{\log\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}{\frac1x}$
[/mm]
Dieser Bruch ist von der Form [mm] "$\frac00$", [/mm] also ist l'Hospital anwendbar.
Bevor du den Zähler ableitest, würde ich noch vereinfachen zu:
[mm] $=\frac{\log(x+1)-\log(x-1)}{\frac1x}$
[/mm]
Meiner schnellen Überschlagsrechnung nach ist 2 tatsächlich der Grenzwert, aber das...
> Mein 2. Ansatz beruht auf der Kovnergenz von (1 +
> [mm]\bruch{1}{x})^x \to[/mm] e
>
> Denn:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] log [mm][(\bruch{x+1}{x-1})^x][/mm]
> = log [ [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{x+1}{x-1})^x][/mm]
>
> = log [ [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{x-1}{x-1}+ \bruch{2}{x-1} )^x][/mm]
>
> = log [ [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch{2}{x-1} )^x][/mm]
>
> [mm]\to[/mm] log [mm][e^2][/mm]
... hast du hier doch auch raus.
Viele Grüße,
Marc
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