Grenzwert für n-> < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | lim n->0 [mm] \bruch{cos(x+2n) - cos(x)}{n} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich tue mich dieser Grenzwertermittlung ziemlich schwer. Ich weiß mittlerweile, dass das Ergebnis -2 sin(x) ist. Doch wie kommt man auf dieses Ergebnis? Die Grenzwertsätze bringen einem ja da auch nichts. Ich habe nicht einmal den Ansatz einer Lösung. Schon mal ein Danke für Eure Unterstützung :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
Erweitere den Ausdruck mal mit [mm] \bruch{2}{2} [/mm] und ziehe den Faktor 2 vor den Grenzwert.
Dann substituiere $h=2n$, dann steht da doch etwas sehr bekanntes....
Und: Ein schönes [mm] $\lim_{n\to 0}$ [/mm] bekommst du hin mit \lim_{n\to 0}
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Di 25.02.2014 | | Autor: | maverick92 |
Erstmal danke für die mehr als schnelle Antwort!
Habe jetzt [mm] \limes_{h\to 0} [/mm] 2 * [mm] \bruch{cos(x+h)-cos(x)}{h}, [/mm] mit h=2n. Das ist [mm]2* f'(x)[/mm], also ist das Ergebnis [mm]-2 * sin(x)[/mm]. Danke dafür! Für solche Aufgaben benötigt man wohl einfach das Auge/Erfahrung.
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Hallo maverick,
Variante b): wende das entsprechende Additionstheorem für den Cosinus an. Das Ergebnis ist natürlich das gleiche, auch wenn der Weg nicht so "schick" ist wie der von Gono. Dafür funktioniert er fast immer, sofern der Grenzwert überhaupt existiert.
Im übrigen ist hier ein Zahlenwert gesucht!
Grüße
reverend
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Hi reverend,
danke für deine Antwort. zu Variante b: Dann habe ich [mm]\limes_{n\to 0}\;\bruch{cos(x)*cos(2n)-sin(x)*sin(2n)}{n}[/mm]. Und dann?
Ich wüsste nicht wie man hier einen Zahlenwert angeben soll, da sich die Sinusfunktion doch zwischen [-1,1] bewegt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Di 25.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi reverend,
>
> danke für deine Antwort. zu Variante b: Dann habe ich
> [mm]\limes_{n\to 0}\;\bruch{cos(x)*cos(2n)-sin(x)*sin(2n)}{n}[/mm].
> Und dann?
Im Zähler hast Du was verschlampert:
[mm]\limes_{n\to 0}\;\bruch{cos(x)*cos(2n)-sin(x)*sin(2n)-cos(x)}{n}[/mm].
Mit der Antwort von reverend bin ich in zweierlei Hinsicht nicht einverstanden.
1. Klar, mit dem Add. Theorem funktioniert das, allerdings braucht man noch die Grenzwerte
[mm] \limes_{n\to 0}\bruch{cos(2n)-1}{n} [/mm] und [mm] \limes_{n\to 0}\bruch{sin(2n)}{n}.
[/mm]
Die kann man berechnen (mit L'Hospital (bä!) oder mit Differenzenquotienten (hui !))
2. Bei obiger Aufgabe kommt kein "Zahlenwert" heraus. Der Limes hängt von x ab !
FRED
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> Ich wüsste nicht wie man hier einen Zahlenwert angeben
> soll, da sich die Sinusfunktion doch zwischen [-1,1]
> bewegt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Di 25.02.2014 | | Autor: | abakus |
> > Hi reverend,
> >
> > danke für deine Antwort. zu Variante b: Dann habe ich
> > [mm]\limes_{n\to 0}\;\bruch{cos(x)*cos(2n)-sin(x)*sin(2n)}{n}[/mm].
> > Und dann?
>
> Im Zähler hast Du was verschlampert:
>
> [mm]\limes_{n\to 0}\;\bruch{cos(x)*cos(2n)-sin(x)*sin(2n)-cos(x)}{n}[/mm].
>
> Mit der Antwort von reverend bin ich in zweierlei Hinsicht
> nicht einverstanden.
>
> 1. Klar, mit dem Add. Theorem funktioniert das, allerdings
> braucht man noch die Grenzwerte
>
> [mm]\limes_{n\to 0}\bruch{cos(2n)-1}{n}[/mm] und [mm]\limes_{n\to 0}\bruch{sin(2n)}{n}.[/mm]
>
> Die kann man berechnen (mit L'Hospital (bä!) oder mit
> Differenzenquotienten (hui !))
... oder man kennt sie. Vor -lass mich nachrechnen- 34 Jahren war noch Lehrplanstoff, dass [mm]\limes_{n\to 0}\bruch{sin(n)}{n}=1[/mm] gilt. Auch die Umformung [mm]cos(2n)-1=cos^2(n)-sin^2(n)-(cos^2(n)+sin^2(n))=-2sin^2(n)[/mm]
führt in dem Zusammenhang erheblich weiter.
Gruß Abakus
>
> 2. Bei obiger Aufgabe kommt kein "Zahlenwert" heraus. Der
> Limes hängt von x ab !
>
>
> FRED
> >
> > Ich wüsste nicht wie man hier einen Zahlenwert angeben
> > soll, da sich die Sinusfunktion doch zwischen [-1,1]
> > bewegt.
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Di 25.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> lim n->0 [mm]\bruch{cos(x+2n) - cos(x)}{n}[/mm]
na, auch, wenn das der Kanonenschuss auf die Spatzen ist:
Nach de l'Hôpital folgt (beachte, dass wir [mm] "$d/dh\,$" [/mm] zu bilden haben - [mm] $x\,$ [/mm] ist hier
"fest")
[mm] $\lim_{h \to 0}\frac{\cos(x+2h)-\cos(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{-2\sin(x+2h)-0}{1}=-2\sin(x)$
[/mm]
P.S. Ich habe "$n [mm] \to [/mm] 0$" natürlich gegen "$h [mm] \to [/mm] 0$" ersetzt - es ist doch
didaktisch eher unschön, $n [mm] \to [/mm] 0$ zu schreiben (siehe auch "Halmos - How
to write mathematics").
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Di 25.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> lim n->0 [mm]\bruch{cos(x+2n) - cos(x)}{n}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich tue mich dieser Grenzwertermittlung ziemlich schwer.
> Ich weiß mittlerweile, dass das Ergebnis -2 sin(x) ist.
> Doch wie kommt man auf dieses Ergebnis?
ich schreibe wieder [mm] $h\,$ [/mm] anstatt [mm] $n\,$:
[/mm]
Das kann man auch so beweisen:
[mm] $\frac{\cos(x+2h)-\cos(x)}{h}=\frac{\cos(x+2h)-\cos(x+h)}{h}+\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}$
[/mm]
Wegen des Mittelwertsatzes gibt es ein [mm] $\xi$ [/mm] zwischen [mm] $x+h\,$ [/mm] und [mm] $x+2h\,$ [/mm] (ich
schreibe extra kein Intervall, weil $h [mm] \not=0$ [/mm] ja positiv oder negativ sein kann!)
mit
[mm] $\frac{\cos(x+2h)-\cos(x+h)}{h}=\cos'(\xi)=-\sin(\xi).$
[/mm]
Bei $h [mm] \to [/mm] 0$ folgt dann [mm] $\xi \to [/mm] x$ und wegen der Stetigkeit von [mm] $\cos'=-\sin$
[/mm]
folgt...
(Was mit dem Bruch rechterhand bei $h [mm] \to [/mm] 0$ passiert, war Dir ja schon klar...)
P.S.: Hier gibt's viele Möglichkeiten; aber so manches hängt davon ab, wie
ihr den Sinus/Kosinus definiert habt und was ihr darüber bereits wisst.
Man kann ja auch mit der Reihendarstellung arbeiten - oder vielleicht sogar
mit
[mm] $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Di 25.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> lim n->0 [mm]\bruch{cos(x+2n) - cos(x)}{n}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und weil's so schön ist:
$\frac{\cos(x+2h)-\cos(x)}{h}=\frac{\cos(2*(\tfrac{x}{2}+h))-\cos(2*\tfrac{x}{2})}{h}$
Bei $h \to 0$ haben wir also
$\left.\frac{d}{dz}\cos(2z)\right|_{z=x/2}$
zu berechnen...
Gruß,
Marcel
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