Grenzwert eines Integrals < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:25 Di 03.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ich hab folgende Aufgabe und bräuchte eure Hilfe !
Da ich ehrlich gesagt nicht in der Lage bin die Stammfunktion von diesem Ausdruck zu bestimmen, versuche ich es irgendwie anders:
Zu zeigen ist, dass dieser Grenzwert für s [mm] \ge [/mm] 1 existiert.
f(s)= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{n} {e^{-t} t^{s} \bruch{dt}{t}}
[/mm]
Meines Erkenntnisses ist das ja eine Anwendung des Integralkriteriums für Reihen. Daher würde es doch nun reichen, wenn ich zeigen würde, dass die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} e^{-n} n^{s-1} [/mm] konvergiert ???!
Wenn ich da nun das Quotientenkriterium anwende, komm ich auf:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{e}* (\bruch{n+1}{n})^{s-1}
[/mm]
Da die Exponentialfkt stetig ist darf ich das limes reinziehen:
[mm] \bruch{1}{e} \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n+1}{n})^{s-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e}<\bruch{1}{2} [/mm] < 1
Damit ist die Reihe konvergent und der obige Grenzwert existiert für jedes s>0
Darf ich das so machen ?
2. Frage: Nun soll ich aber noch zeigen f(s+1)=s*f(s)
Ich muss hier doch zeigen, dass die Grenzwerte gleich sind, aber das sind sie nicht...
f(s+1)= [mm] \bruch{1}{e} \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n+1}{n})^{s}
[/mm]
s*f(s) = [mm] \bruch{s}{e} \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n+1}{n})^{s-1}
[/mm]
3. Frage: f(n) berechnen (n [mm] \ge [/mm] 1).
Setze ich nun das n für das s ein, so erhalte ich aber doch:
[mm] \bruch{1}{e} \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n+1}{n})^{n-1} [/mm] = 1
Kann mir hier mal bitte jemand helfen ? *liebschau*
4. Frage: Gibt es irgeneinen Trick um [mm] \integral_{1}^{2} {\bruch{log(x)}{x} dx} [/mm] zu berechnen, ich dreh mich da immer im Kreis ?
Namarie
Faenôl
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Hallo Faenôl !
> 4. Frage: Gibt es irgeneinen Trick um [mm]\integral_{1}^{2} {\bruch{log(x)}{x} dx}[/mm]
> zu berechnen, ich dreh mich da immer im Kreis ?
Welchen Logarithmus (zu welcher Basis) meinst Du denn hier?
Den natürlichen Loagrithmus [mm] $\ln(x)$ [/mm] ?
Vorgehensweise mit Substitution:
$z \ := \ [mm] \ln(x)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $z' \ =\ [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ x*dz$
Sollte es sich um einen Logarithmis mit anderer Basis als [mm] $\text{e}$ [/mm] handeln, wird:
[mm] $\left[\log_b(x)\right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\ln(b) * x}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Di 03.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Zu zeigen ist, dass dieser Grenzwert für s [mm]\ge[/mm] 1
> existiert.
> f(s)= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{n} {e^{-t} t^{s} \bruch{dt}{t}}[/mm]
>
> Meines Erkenntnisses ist das ja eine Anwendung des
> Integralkriteriums für Reihen.
Soweit ich weiss, beweist man das nur in einer Richtung: wenn das integral konvergiert, dann auch die Reihe, Nicht umgekehrt.
Deshalb geh ich auf deine Reihen nicht ein.
Du kannst das Integral [mm] \integral_{0}^{n} {e^{-t} t^{s} \bruch{dt}{t}} [/mm] partiell integrieren.
Der Einfachheit halber gleich f(s+1), das löst auch Aufgabe 2.
[mm] \integral_{0}^{n} {e^{-t} t^{s}dt}=-e{-n}*n^{s}+s* \integral_{0}^{n} {e^{-t} t^{s-1}dt}
[/mm]
1. Teil verschwindet für [mm] n-->\infty, [/mm] 2. Teil =s*f(s)
Für die Konvergenz machst du weiter mit der partiellen Integration bis unter dem Integral [mm] t^{s-k}steht, [/mm] mit s-k [mm] \le [/mm] -2 dann schätzest du das Integral durch Maximum des Integranten mal Intervalllänge ab und bist fertig. (falls s ganz ist gehts auch direkter)
> 2. Frage: Nun soll ich aber noch zeigen f(s+1)=s*f(s)
>
> Ich muss hier doch zeigen, dass die Grenzwerte gleich sind,
> aber das sind sie nicht...
auch hier kannst du die Reihen nicht verwenden. Das Konvergenzkriterium, selbst wenn man es umkehren könnte, sagt NICHT die Grenzwerte sind gleich!
>
> f(s+1)= [mm]\bruch{1}{e} \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n+1}{n})^{s}[/mm]
>
> s*f(s) = [mm]\bruch{s}{e} \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n+1}{n})^{s-1}[/mm]
> 3. Frage: f(n) berechnen (n [mm]\ge[/mm] 1).
Siehe oben, nach n-1 maliger partieller Integration (mach ne Rekursionsformel) bist du fertig, besser benutze 2.
f(n)=(n-1)f(n-1) ....., berechne f(1)
> 4. Frage: Gibt es irgeneinen Trick um [mm]\integral_{1}^{2} {\bruch{log(x)}{x} dx}[/mm]
> zu berechnen, ich dreh mich da immer im Kreis ?
Wahrscheinlich drehst du dich im Kreis bei partiellem Integrieren, weil man wieder auf dasselbe integral stößt! aber das bringt man auf die linke Seite, dann hat man 2 mal das ursprüngliche Integral(u'v) = uv
mit Substitution , wie die Antwort vor mir, gehts aber noch schneller.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Di 03.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Vielen, Vielen Dank für eure Antworten !
Hmm, ich dachte, dass ich irgendwo gelesen hab, dass die Aussagen (Reihe konvergent + Integralkriterium greift) äquivalent sind und nicht nur einseitig..
Aber naja, dein Weg weist ja auch die Wege für die anderen Unteraufgaben, daher ist er sinnvoller !
Muss aber dennoch nachfragen:
Hab nun die partielle Integration (k-1) mal angewandt und komme auf:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{n} {e^{-t} t^{s}dt}= s*(s-1)*(s-2)*(s-(k-1))*\cdot{} \integral_{0}^{n} {e^{-t} t^{s-k}dt}
[/mm]
Soo, und nun soll ich Abschätzen :
(Maximum des Integranten mal Intervalllänge)
hmm, ich hab soben versucht, das Maximum der Funktion durch Ableiten und dann Null setzen zu bestimmen, aber das wird irgendwie nichts... Da es ja auch von dem s abhängt (logischerweise).
Wie macht man das ?
Die 2. Frage wäre dann klar. Nach dem ersten obigen Schritt würde man dann f(s+1)=s*f(s) sehen....
3. Frage
f(n)=(n-1)*(n-2)*(n-3)* [mm] \cdots [/mm] *(n-(n-1)*f(1)
wobei:
[mm] f(1)=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1- [mm] \bruch{1}{e^{n}}=1
[/mm]
Also: f(n)=n!/n=(n-1)!, da laut Vorrausetzung n [mm] \in \IZ \ge [/mm] 1.
So richtig ?
zu der 4:
[mm] \integral_{1}^{2} [/mm] {log(x)*log'(x) [mm] dx}=log(x)^{2}|^{2}_{1}- \integral_{1}^{2} [/mm] {log(x)*log'(x) dx}
=> [mm] 2*\integral_{1}^{2} [/mm] {log(x)*log'(x) [mm] dx}=log(2)^{2}=2*log(2)
[/mm]
= Also Ergebniss log(2) ?
Danke !
Faenôl
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Hallo,
bedenke bitte, dass zwar [mm] $log(2^2)=2\,log(2)$ [/mm] aber bei der Aufgabe muss [mm] $\bruch{log(2)^2}{2}$ [/mm] rauskommen.
Gruß,
Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Mi 04.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo> Hi !
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> Vielen, Vielen Dank für eure Antworten !
>
> Hmm, ich dachte, dass ich irgendwo gelesen hab, dass die
> Aussagen (Reihe konvergent + Integralkriterium greift)
> äquivalent sind und nicht nur einseitig..
Ich glaub du hast recht, auf jeden Fall für genügend monotone fkt.!
Aber die Grenzwerte sind nicht! gleich!
Und die Methode versagt sicher fast immer. Besser man sucht bei solchen Folgen immer Monotonie und dann ne Schranke!
> Aber naja, dein Weg weist ja auch die Wege für die anderen
> Unteraufgaben, daher ist er sinnvoller !
>
> Muss aber dennoch nachfragen:
>
> Hab nun die partielle Integration (k-1) mal angewandt und
> komme auf:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{n} {e^{-t} t^{s}dt}= s*(s-1)*(s-2)*(s-(k-1))*\cdot{} \integral_{0}^{n} {e^{-t} t^{s-k}dt}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Soo, und nun soll ich Abschätzen :
> (Maximum des Integranten mal Intervalllänge)
Da hab ich leider nen Denkfehler gemacht, weil dann immer mindestens n rauskommt.
also hab ich nen besseren Vorschlag :
$\integral_{0}^{n} {e^{-t} t^{s-1}dt}=\integral_{0}^{n} {e^{-t/2}*e^{-t/2} t^{s-1}dt}$
$e^{-t/2} t^{s-1}$ hat sein Maximum bei t=2s-2 also gilt:
$\integral_{0}^{n} {e^{-t/2}*e^{-t/2} t^{s-1}dt}<\integral_{0}^{n} {e^{-t/2}*e^{-(2s-2)*(2s-2)^{s-1}dt}$. Das Integral ist einfach zu berechnen und damit hat man die gesuchte Beschränkung und kann den Übergang gegen unendlich machen.
(falls du noch weitere Fragen hast, f(s) heisst Gamma Fkt! darunter findest du dann alles!)
>
> hmm, ich hab soben versucht, das Maximum der Funktion durch
> Ableiten und dann Null setzen zu bestimmen, aber das wird
> irgendwie nichts... Da es ja auch von dem s abhängt
> (logischerweise).
Siehe oben!
>
>
> Die 2. Frage wäre dann klar. Nach dem ersten obigen Schritt
> würde man dann f(s+1)=s*f(s) sehen....
>
>
> 3. Frage
> f(n)=(n-1)*(n-2)*(n-3)* [mm]\cdots[/mm] *(n-(n-1)*f(1)
> wobei:
> [mm]f(1)=\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 1- [mm]\bruch{1}{e^{n}}=1[/mm]
>
> Also: f(n)=n!/n=(n-1)!, da laut Vorrausetzung n [mm]\in \IZ \ge[/mm]
> 1.
>
> So richtig ?
Ja!
>
> zu der 4:
>
> [mm]\integral_{1}^{2}{log(x)*log'(x) dx}=log(x)^{2}|^{2}_{1}- \integral_{1}^{2}{log(x)*log'(x) dx}[/mm]
>
> => [mm]2*\integral_{1}^{2}{log(x)*log'(x) dx}=log(2)^{2}=2*log(2)[/mm]
Hier sind deine Klammern unklar, deshalb dein Fehler
[mm] (log(2))^{2} \ne [/mm] 2*log(2)
nur [mm] log(2^{2})=2*log(2) [/mm]
> = Also Ergebniss log(2) ?
falsch
tut mir leid mit dem Fehler, aber das part. Integrieren brauchtest du ja eh!
Gruss leduart
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