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| Aufgabe | [mm]\limes_{n \to \infty}\wurzel[k]{a_n}=\wurzel[k]{\limes_{n \to \infty}a_n}[/mm]
k ist eine ganze positive Zahl und [mm]a_n[/mm] ist eine konvergente Folge. |
Wie kann ich das beweisen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:55 Di 18.11.2008 | | Autor: | reverend |
Wenn Du mit irgendeinem Kriterium einen Grenzwert A für [mm] a_n [/mm] nachweisen kannst, dann kannst Du doch die ganze Rechnung äquivalent umformen, indem Du in allen Schritten die n-te Wurzel auf beiden (allerdings vorerst positiven) Seiten ziehst. Das Ergebnis ist dann [mm] \wurzel[n]{A}.
[/mm]
Jetzt überleg Dir noch
1) was passiert, wenn die Grenzwertbestimmung auf einer Ungleichung basiert;
1.1) genau eine der Ungleichungsseiten <0 ist;
1.2) beide Ungleichungsseiten <0 sind;
2.1) n gerade bzw. (für 1.1, 1.2)
2.2) n ungerade ist (dto.)
Kürzer krieg ich's gerade nicht mehr hin. Ausgeschrieben ist dieser Lösungsweg ziemlich lang, wenn er formal sauber sein soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:35 Di 18.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\limes_{n \to \infty}\wurzel[k]{a_n}=\wurzel[k]{\limes_{n \to \infty}a_n}[/mm]
>
> k ist eine ganze positive Zahl und [mm]a_n[/mm] ist eine konvergente
> Folge.
> Wie kann ich das beweisen?
damit die Aufgabe Sinn macht, sollte dort zusätzlich [mm] $\lim_{n \to \infty} a_n=:a \ge [/mm] 0$ gefordert sein. (Dabei gibt es allerdings verschiedene Ansichten, vgl. ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia: Wurzeln aus negativen Zahlen. Je nach Ansicht dürfte man, aber auch nur für ungerade [mm] $\,k\,,$ [/mm] auch [mm] $\,a\, [/mm] < 0$ zulassen.)
Wie gerade in der Klammer erklärt, kann es sein, dass ihr auch für ungerade [mm] $\,k\,$ [/mm] einen negativen Radikand zulassen könnt. Aber das ist unerheblich, selbst, wenn es so ist, kann man sich auf den Fall [mm] $\,a\, \ge [/mm] 0$ beschränken (warum, dazu dann später).
Zunächst sei also $a [mm] \ge 0\,.$ [/mm]
(Den Fall [mm] $a\,=\,0$ [/mm] kannst Du separat betrachten, dieser Fall ist nicht schwer!)
Ist $a [mm] \, [/mm] > [mm] \, 0\,,$ [/mm] so findet man zu [mm] $\varepsilon:=\frac{|a|}{2}$ [/mm] ein $N$ mit [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \frac{|a|}{2}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Daraus folgt [mm] $a_n [/mm] > 0$ für alle $n [mm] \ge N\,.$ [/mm] Es gilt daher:
[mm] $$a_n=(\sqrt[k]{a_n})^k \to a\;\;\;(N \le [/mm] n [mm] \to \infty)\,.$$
[/mm]
Was folgt daraus?
(Oben sollte/könnte man sich der Vollständigkeit wegen vll. vorher noch überlegen: Wenn [mm] $(c_n)_n$ [/mm] eine divergente Folge ist, so divergiert für jedes $k [mm] \in \IN$ [/mm] auch die Folge [mm] $(d_n)_n \equiv (d_n^{(k)})_n$ [/mm] mit [mm] $d_n:=c_n\,^k\,.$
[/mm]
Und ganz einfach würde der Beweis der ursprünglichen Aussage werden, wenn ihr schon wüßtet, dass [mm] $\sqrt[k]{\cdot}$ [/mm] eine (auf [mm] $\IR_{\ge 0}$) [/mm] stetige Funktion ist.)
Falls ihr nun für ungerade [mm] $\,k\,$ [/mm] auch negative Radikanden zugelassen haben solltet:
Sei nun [mm] $\,k\,$ [/mm] ungerade und $a < [mm] 0\,.$ [/mm] Aus [mm] $a_n \to [/mm] a$ folgt [mm] $-a_n \to [/mm] -a > 0$ ($n [mm] \to \infty$). [/mm] Dann gilt (aber auch nur, unter der Bedingung, dass [mm] $\,k\,$ [/mm] ungerade ist und ihr für ungerade [mm] $\,k\,$ [/mm] auch die [mm] $\sqrt[k]{r}$ [/mm] für $r < 0$ definiert habt!)
[mm] $$\sqrt[k]{a_n}=-\sqrt[k]{-a_n}\,.$$ [/mm]
Der Rest folgt aus dem oben bewiesenen (am Ende sollte man dann beachten, dass man hier dann [mm] $-\sqrt[k]{-a}=\sqrt[k]{a}$ [/mm] hätte).
Wie gesagt:
Ich selbst kenne die Definition der [mm] $\sqrt[k]{r}\,,$ [/mm] $k [mm] \in \IN$ [/mm] nur so, dass man dort zusätzlich $r [mm] \ge [/mm] 0$ fordert. Und das finde ich auch sinnvoll, denn gewinnen tut man nichts, wenn man im Falle, dass $n [mm] \in \IN$ [/mm] ungerade ist, auch die Schreibweise [mm] $\sqrt[k]{r}$ [/mm] für $r [mm] \le [/mm] 0$ zuläßt.
(Im Gegenteil, man verliert sogar gewisse "Rechenregeln", vgl. den Link zu Wiki oben: Diese Festlegung ist mit manchen Eigenschaften der Wurzeln, die für positive Radikanden gelten, nicht vereinbar....)
Dann hat man für $r < 0$ im Falle eines ungeraden $n [mm] \in \IN$ [/mm] eh die Gleichheit [mm] $\sqrt[n]{r}=-\sqrt[n]{-r}\,.$ [/mm] Und damit höchstens formal bei gewissen Aufgaben ein paar Fallunterscheidungen mehr zu treffen oder zu ergänzen, warum man sich auf den Fall, dass der Radikand stets [mm] $\ge [/mm] 0$ sei, beschränken kann.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 Di 18.11.2008 | | Autor: | honey1983 |
Vielen Dank für die schnelle ausführliche Beantwortung. Stetigkeit war noch nicht dran. Aber ich konnte so die Aufgabe mit gutem Gewissen beantworten.
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