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| Aufgabe | Berechnen sie den Wert der Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(2k)!} [/mm] |
Hallo zusammen :),
Hab mal wieder ein Problem bei einer Übungsaufgabe.
Ich soll den GW der obigen Reihe ausrechnen, aber komme hier selbst nach Stunden nicht sonderlich weit.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(2k)!} [/mm] =
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(k)!} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(k+1)*...*(k+k)}
[/mm]
da hörts dann auch schon auf.
Ich weiss zwar dass [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{(k)!}
[/mm]
= e ist aber ich komme mit dem 2. Term nich zurecht.
Bin gespannt auf Hilfe,
Danke,
Tommy
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> Berechnen sie den Wert der Reihe:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(2k)!}[/mm]
> Hallo zusammen :),
>
> Hab mal wieder ein Problem bei einer Übungsaufgabe.
> Ich soll den GW der obigen Reihe ausrechnen, aber komme
> hier selbst nach Stunden nicht sonderlich weit.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(2k)!}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(k)!}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{(k+1)*...*(k+k)}[/mm]
>
> da hörts dann auch schon auf.
> Ich weiss zwar dass [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{(k)!}[/mm]
>
> = e ist aber ich komme mit dem 2. Term nich zurecht.
Vielleicht weisst Du auch, dass [mm] $e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}x^k$ [/mm] ist. Falls ja kannst Du versuchen, diese Reihe so zu kombinieren, dass die ungeraden Terme gerade herausfallen. Betrachte also z.B. die Reihe von [mm]\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/mm] an der Stelle $x=1$. (Aber Vorsicht, der Summationsindex der gegebenen Reihe beginnt bei $k=1$, nicht etwa bei $k=0$ wie die Reihe des [mm] $\cosh(x)$, [/mm] also ist noch eine kleine Korrektur nötig).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:48 Di 13.05.2008 | | Autor: | Xerxes2504 |
Vielen Dank,
habs jetzt endlich hinbekommen.
Mein Denkfehler war das ich nicht gesehen habe das [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(2k)!} [/mm] eigentlich dasselbe ist wie [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm] nur ohne die ungeraden Glieder :).
Bin jetzt auf folgendes gekommen:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(2k)!} [/mm] =
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{(k)!} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^k}{k!})*\bruch{1}{2}
[/mm]
also
[mm] \bruch{1}{2}*(\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(k)!} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{(k)!})
[/mm]
[mm] =\bruch{e^{-1}+e-2}{2}
[/mm]
(da ich ja noch jeweils den ersten Summand abziehen muss)
Mfg,
Tommy
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