Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Heffa |
| Aufgabe | Entscheiden Sie für welche x [mm] \varepsilon \IR [/mm] konvergiert die folgende Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n-1}}{n*(n+1)}
[/mm]
und bestimmen sie gegebenfalls den Wert.
Verwenden Sie das Ergebnis um zu zeigen, dass
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n*(n+1)} [/mm] = 1 |
Hi,
ich hab jetzt schon eine Weile an der Aufgabe herumgerechnet, doch meine Lösung stimmt anscheinend nicht. Ich hoffe hier kann mir jemand einen Tipp geben wo mein Fehler denn liegt :)
Konvergenzradius der Reihe ist denke ich 1 wobei die Reihe für [mm] \pm [/mm] 1 auch konvergiert.
geometrische Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} x^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] | : x
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} x^{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x-x^{2}} [/mm] | integrieren
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n} [/mm] = ln|x| - ln|x-1| | integrieren
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n+1}}{n*(n+1)} [/mm] = - ln |x-1| (x-1) -1 + x ln|x|
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n-1}}{n*(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{- ln |x-1| (x-1) -1 + x ln|x|}{x^{2}}
[/mm]
Nun sollte laut zweitem Teil der Aufgabe für x=1 auch die Reihe 1 werden, wenn ich jedoch den Grenzwert gegen 1 bilde erhalte ich -1.
Das kann offensichtlich nicht stimmen.
Hab das Ganze jetzt schon mehrmals per Hand und mit dem Computer gerechnet aber einen Wert der für x=1 gegen 1 geht hatte ich noch nie raus :(
Als Grund warum es nicht klappt ist mir nur eingefallen dass ich Summe und Integral vertausche und das wohl nur im Konvergenzradius darf, die 1 aber nicht im Radius liegt.
Hab mir dann überlegt die Reihe für x=1 mit [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] und [mm] \bruch{1}{n^{2} + n^{2}} [/mm] abzuschätzen. Allerdings verwende ich dann das Ergebnis der vorigen Aufgabe nicht (siehe Aufgabenstellung)
Sieht jemand meinen Fehler und kann mir einen Tipp geben ?
Gruß Heffa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Der Start ist falsch. Richtig ist
[mm]\sum_{n=1}^{\infty}~x^{n-1} = \frac{1}{1-x}[/mm]
Und zweimalige Integration liefert:
[mm]\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{x^{n+1}}{n(n+1)} = x + (1-x) \ln{(1-x)}[/mm]
Und jetzt noch durch [mm]x^2[/mm] dividieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Heffa |
Super vielen Dank!!!
Bin schon fast verzweifelt :)
Gruß Heffa
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