Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:11 Mo 09.03.2015 | | Autor: | Chris84 |
Hallo an alle,
vor einiger Zeit war ich hier an den Grenzwert bzw. das Verhalten einer verschachtelten Summe interessiert. Es stellt sich heraus, dass mein Problem doch noch ein klein wenig komplizierter ist. Genauer:
Ich habe die Folge
[mm] $\beta_k:=\sum_{\alpha=1}^{k-3}\beta_k^{\alpha}$,
[/mm]
wobei die [mm] $\beta_k^{\alpha}$ [/mm] rekursiv definiert sind durch
[mm] $\beta_k^{\alpha}:=\frac{(k-\alpha)^3}{(k-\alpha+1)^3}\beta_k^{\alpha-1}-\frac{(k-\alpha)^3}{k^3}\beta_{k-1}^{\alpha}$,
[/mm]
also rekursiv in $k$ und [mm] $\alpha$. [/mm] Bekannt ist ausserdem, dass [mm] $\beta_k^1=\beta_{k-1}$.
[/mm]
Weit bin ich noch nicht gekommen. Erst habe ich versucht, eine explizite Form der [mm] $\beta_k^{\alpha}$ [/mm] zu bestimmen, was mir aber wegen der doppelten Rekursion nicht wirklich gelungen ist. Soweit ich das herausgefunden habe, kann Mathematica dieses Problem auch mit RSolve nicht wirklich loesen.
Dann dachte ich, dass
[mm] $\lim_{k\to\infty}\beta_k=\lim_{k\to\infty}\sum_{\alpha=1}^{k-3}\beta_k^{\alpha} [/mm] = [mm] \sum_{\alpha=1}^{\infty}\lim_{k\to\infty} \beta_k^{\alpha}=:\sum_{\alpha=1}^{\infty}\beta_{\infty}^{\alpha}$,
[/mm]
wobei ich nicht glaube, dass man den Limes auf die Summe beziehen und in die Summe ziehen darf. Ich habe dann versucht [mm] $\beta_{\infty}^\alpha$ [/mm] aus der Rekursion zu bestimmen. Da der Laufindex der Summe aber auch gegen Unendlich geht, kann man nicht einfach nur den Limes [mm] $k\to\infty$ [/mm] betrachten. (Irgendwas habe ich hier uebersehen!)
Wenn jemand eine Idee hat, immer her damit ;)
EDIT:
um vielleicht ein wenig präziser zu sein: Es ist ja z.B. definitiv
[mm] $\beta_{5}=\sum_{\alpha=1}^{5-3} \beta_5^{\alpha}$
[/mm]
oder
[mm] $\beta_{100000}=\sum_{\alpha=1}^{100000-3} \beta_{100000}^{\alpha}$.
[/mm]
Das ist der Grund, warum ich dachte, [mm] dass $\lim_{k \to \infty}\beta_{k}=\sum_{\alpha=1}^{\infty} \beta_{\infty}^{\alpha}$ funktionieren [/mm] sollte. Ich glaube eher, dass mein weiteres Vorgehen falsch ist, nämlich: Die rekursive Definition ist ja
[mm] $\beta_k^{\alpha}:=\frac{(k-\alpha)^3}{(k-\alpha+1)^3}\beta_k^{\alpha-1}-\frac{(k-\alpha)^3}{k^3}\beta_{k-1}^{\alpha} [/mm] $
$ [mm] =(1-\frac{3}{k-\alpha+1}+ \frac{3}{(k-\alpha+1)^2}- \frac{1}{(k-\alpha+1)^3} )\beta_k^{\alpha-1}-(1-\frac{3\alpha}{k}+\frac{3\alpha^2}{k^2}-\frac{\alpha^3}{k^3})\beta_{k-1}^{\alpha} [/mm] $.
Das übliche Vorgehen bei Rekursionen wäre nun, [mm] $\lim_{k \to\infty} \beta_k^{\alpha}= \lim_{k \to\infty} \beta_{k-1}^{\alpha}= \beta_{\infty}^{\alpha}$ [/mm] und $ [mm] \lim_{k \to\infty} \beta_{k}^{\alpha-1}= \beta_{\infty}^{\alpha-1}$ [/mm] zu setzen. Weiterhin habe ich die Limites der Koeffizientenklammern 1 gesetzt (da $k [mm] \to \infty$) [/mm] und erhalte eine Rekursionsgleichung in [mm] $\alpha$, [/mm] die ich lösen kann. Damit könnte ich auch die Reihe berechnen. Allerdings glaube ich, dass der Grenzwert der Klammern nicht 1 sein kann, da in den Klammern auch [mm] $\alpha$, [/mm] der Laufindex der Reihe, auftritt. Und dieser geht auch gegen Unendlich, so dass beispielsweise [mm] $(\alpha/k)^2 \to [/mm] 0$ für $k [mm] \to \infty$ [/mm] nicht wahr sein kann.Irgendwelche Ideen, wie man das Problem lösen kann?
Gruss,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Mo 09.03.2015 | | Autor: | Jodocus |
Also den Limes kannst du denke ich auf keinen Fall mit der Summe vertauschen. Wenn das ginge, wäre jedes , denn bilden Nullfolgen.
À propos: Hast du mal geprüft, ob ? Wenn das nicht der Fall ist, kannst du die Reihe sowieso vergessen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Mo 09.03.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Also den Limes kannst du denke ich auf keinen Fall mit der
> Summe vertauschen. Wenn das ginge, wäre jedes
> , denn bilden
> Nullfolgen.
Wie gesagt: Ich denke auch, dass es nicht gibt, aber dein Analogon passt nicht wirklich. Bei dir hast du ja als Laufindex der Summe $k$ und als Index der Summanden auch $k$. Bei mir sind die beiden Indizes unterschiedlich, der Laufindex ist [mm] $\alpha$, [/mm] wohingegen der Limes [mm] $k\to\infty$ [/mm] betrachtet wird.
> À propos: Hast du mal geprüft, ob
> ? Wenn das nicht
> der Fall ist, kannst du die Reihe sowieso vergessen.
Es ist definitiv bekannt, dass [mm] $\beta_k$ [/mm] konvergiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:31 Di 10.03.2015 | | Autor: | Jodocus |
Ah ja, 'tschuldige, hab nicht so genau hingesehen.
Viel Erfolg!
Edit: Nur Quark geschrieben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Di 10.03.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Ah ja, 'tschuldige, hab nicht so genau hingesehen.
> Viel Erfolg!
>
> Edit: Nur Quark geschrieben.
Huhu,
um vielleicht ein wenig präziser zu sein: Es ist ja z.B. definitiv
[mm] $\beta_{5}=\sum_{\alpha=1}^{5-3} \beta_5^{\alpha}$
[/mm]
oder
[mm] $\beta_{100000}=\sum_{\alpha=1}^{100000-3} \beta_{100000}^{\alpha}$
[/mm]
Das ist der Grund, warum ich dachte, dass
[mm] $\lim_{k \to \infty}\beta_{k}=\sum_{\alpha=1}^{\infty} \beta_{\infty}^{\alpha}$
[/mm]
funktionieren sollte. Ich glaube eher, dass mein weiteres Vorgehen falsch ist, nämlich:
Die rekursive Definition ist ja
[mm] $\beta_k^{\alpha}:=\frac{(k-\alpha)^3}{(k-\alpha+1)^3}\beta_k^{\alpha-1}-\frac{(k-\alpha)^3}{k^3}\beta_{k-1}^{\alpha} [/mm] $
$ [mm] =(1-\frac{3}{k-\alpha+1}+ \frac{3}{(k-\alpha+1)^2}- \frac{1}{(k-\alpha+1)^3} )\beta_k^{\alpha-1}-(1-\frac{3\alpha}{k}+\frac{3\alpha^2}{k^2}-\frac{\alpha^3}{k^3})\beta_{k-1}^{\alpha} [/mm] $.
Das übliche Vorgehen bei Rekursionen wäre nun, [mm] $\lim_{k \to\infty} \beta_k^{\alpha}= \lim_{k \to\infty} \beta_{k-1}^{\alpha}= \beta_{\infty}^{\alpha}$ [/mm] und $ [mm] \lim_{k \to\infty} \beta_{k}^{\alpha-1}= \beta_{\infty}^{\alpha-1}$ [/mm] zu setzen. Weiterhin habe ich die Limites der Koeffizientenklammern 1 gesetzt (da $k [mm] \to \infty$) [/mm] und erhalte eine Rekursionsgleichung in [mm] $\alpha$, [/mm] die ich lösen kann. Damit könnte ich auch die Reihe berechnen. Allerdings glaube ich, dass der Grenzwert der Klammern nicht 1 sein kann, da in den Klammern auch [mm] $\alpha$, [/mm] der Laufindex der Reihe, auftritt. Und dieser geht auch gegen Unendlich, so dass beispielsweise [mm] $(\alpha/k)^2 \to [/mm] 0$ für $k [mm] \to \infty$ [/mm] nicht wahr sein kann.
Irgendwelche Ideen, wie man das Problem lösen kann?
Gruß,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Di 10.03.2015 | | Autor: | Herby |
Hi,
es wäre vielleicht geschickter, deine Ergänzungen direkt in die ursprüngliche Frage zu schreiben,kopieren 
LG
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Di 10.03.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Hi,
>
> es wäre vielleicht geschickter, deine Ergänzungen direkt
> in die ursprüngliche Frage zu schreiben,kopieren
>
> LG
> Herby
Stimmt, hab's angehängt.
Gruß,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 Di 10.03.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
was ist denn [mm] $\beta_3$? [/mm] Das müsste ja das Anfangsglied sein....
edit: und was ist allgemein [mm] $\beta_k^\alpha$ [/mm] für [mm] $\alpha [/mm] >k$
Fragen über Fragen....
edit2: Vielleicht solltest du dein eigentliches Problem hier mal schildern, so führt das nämlich nur zu irgendwelchem Schmu und Stückwerk, was offensichtlich gar nicht zielführend ist.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Di 10.03.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Hiho,
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> was ist denn [mm]\beta_3[/mm]? Das müsste ja das Anfangsglied
> sein....
[mm] $\beta_4$, [/mm] um genau zu sein.
>
> edit: und was ist allgemein [mm]\beta_k^\alpha[/mm] für [mm]\alpha >k[/mm]
Da [mm] $\alpha$ [/mm] nur bis $k-3$ läuft, ist jener Fall gar nicht interessant.
> Fragen über Fragen....
>
> edit2: Vielleicht solltest du dein eigentliches Problem
> hier mal schildern, so führt das nämlich nur zu
> irgendwelchem Schmu und Stückwerk, was offensichtlich gar
> nicht zielführend ist.
Wie das so in der Wissenschaft ist, kann/darf man leider nicht alles darstellen. Hätte eigentlich gedacht, daß das Problem hinreichend klar wäre.
>
> Gruß,
> Gono
Gruß,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Di 10.03.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Da [mm]\alpha[/mm] nur bis [mm]k-3[/mm] läuft, ist jener Fall gar nicht interessant.
Na dann berechne mir mal bitte [mm] \beta_5
[/mm]
> > edit2: Vielleicht solltest du dein eigentliches Problem
> > hier mal schildern, so führt das nämlich nur zu
> > irgendwelchem Schmu und Stückwerk, was offensichtlich gar
> > nicht zielführend ist.
>
> Wie das so in der Wissenschaft ist, kann/darf man leider
> nicht alles darstellen. Hätte eigentlich gedacht, daß das
> Problem hinreichend klar wäre.
Ich bezweifle nur, dass dies dein eigentliches Problem ist und wie die Erfahrung hier nunmal zeigt, sind die "eigentlichen Probleme" meist viel trivialer und werden nur durch ungenaue bis falsche Wiedergabe so "kompliziert".
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Di 10.03.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Hiho,
>
> > Da [mm]\alpha[/mm] nur bis [mm]k-3[/mm] läuft, ist jener Fall gar nicht
> interessant.
>
> Na dann berechne mir mal bitte [mm]\beta_5[/mm]
>
Ja, ich sehe das Problem. Ich schreib nachher (wenn ich mehr Zeit habe)/morgen noch was über Anfangsbedingunen.
> > > edit2: Vielleicht solltest du dein eigentliches Problem
> > > hier mal schildern, so führt das nämlich nur zu
> > > irgendwelchem Schmu und Stückwerk, was offensichtlich gar
> > > nicht zielführend ist.
> >
> > Wie das so in der Wissenschaft ist, kann/darf man leider
> > nicht alles darstellen. Hätte eigentlich gedacht, daß das
> > Problem hinreichend klar wäre.
>
> Ich bezweifle nur, dass dies dein eigentliches Problem ist
> und wie die Erfahrung hier nunmal zeigt, sind die
> "eigentlichen Probleme" meist viel trivialer und werden nur
> durch ungenaue bis falsche Wiedergabe so "kompliziert".
Hmmm, nur so viel. Es geht um die Bestimmung der Apery Konstante. Ich zweifel hier an Trivialität^^
>
> Gruß,
> Gono
Gruß,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 09.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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