Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man bestimme, ob die Folge [mm] a_n: \bruch{(3-n)^3}{3n^3-1} [/mm] divergent, beschränkt oder konvergent ist und bestimme ggf. den Grenzwert. |
Hallo,
ich hab versucht die Folge nach oben abzuschätzen, um vielleicht über das Majorantenkriterium die Konvergenz zu zeigen.
[mm] |a_n| [/mm] = [mm] |\bruch{-n^3 + 3n^2 - 9n + 27}{3n^3 - 1} [/mm] = |-1| * [mm] |\bruch{n^3 - 3n^2 + 9n -27}{3n^3 - 1}| [/mm] = [mm] \bruch{n^3 - 3n^2 + 9n - 27}{3n^3 - 1} [/mm] < [mm] \bruch{n^3 - 3n^2 + 9n - 27}{2n^3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{2n} [/mm] + [mm] \bruch{9}{2n^2} [/mm] - [mm] \bruch{27}{2n^3}, [/mm] was gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] konvergiert.
Somit muss auch [mm] a_n [/mm] konvergieren. Aber wie komme ich jetzt auf den Grenzwert?
a_10 = [mm] \bruch{-343}{2999}
[/mm]
a_100 = [mm] \bruch{-912673}{2999999}
[/mm]
Da würde ich [mm] \bruch{-1}{3} [/mm] als Limes vermuten. Wie kann ich das jetzt überprüfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mit freundlichen Grüßen,
Benjamin
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Hallo!
Zunächst gilt: [mm] $(3-n)^3=-n^3 [/mm] + [mm] 9n^2 [/mm] - 27n + 27$
[mm] a_n=\bruch{-n^3 + 9n^2 - 27n + 27}{3n^3 - 1}
[/mm]
Klammere nun im Zähler und Nenner die höchste Potenz, also [mm] n^3, [/mm] aus und kürze anschließend, um den Grenzwert zu ermitteln.
Gruß Patrick
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Danke für die schnelle Antwort.
Hier ist was ich draus mache:
[mm] a_n [/mm] = [mm] a_n=\bruch{-n^3 + 9n^2 - 27n + 27}{3n^3 - 1} [/mm] = [mm] \bruch{n^3(\bruch{-9}{n} + \bruch{27}{n^2} - \bruch{27}{n^3})}{n^3(3 - \bruch{1}{n^3})} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{-9}{n} + \bruch{27}{n^2} - \bruch{27}{n^3}}{3 - \bruch{1}{n^3}}
[/mm]
Da der Zähler für n gegen unendlich gegen 0 geht ist somit der Grenzwert von [mm] a_n [/mm] auch gleich 0.
Hab ich das richtig?
MfG,
Benjamin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
du hast eine [mm] \red{1} [/mm] unterschlagen:
> Danke für die schnelle Antwort.
> Hier ist was ich draus mache:
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]a_n=\bruch{-\red{1}*n^3 + 9*n^2 - 27*n + 27}{3n^3 - 1}[/mm] = ....
Liebe Grüße
Herby
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