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| Aufgabe | Man bestimme den Grenzwert folgender Reihe:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n} [/mm] 1/k(k+1)
Man beachte: 1/k(k+1) = 1/k - 1/k+1 |
Hallo,
ich sehs mal wieder nicht.
Wenn ich das nach der Regel umforme komme ich auf
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/k - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n} [/mm] 1/k+1
Sieht für mich ja nach GW=0 aus...
In meinen Unterlagen werden die Grenzen der zweiten Summe noch um 1 erweitert. Was danach kommt verwirrt mich irgendwie nur noch...
Weiss jemand genaueres?
vielen Dank
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> Man bestimme den Grenzwert folgender Reihe:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}[/mm] 1/k(k+1)
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> Man beachte: 1/k(k+1) = 1/k - 1/k+1
Hallo,
mach das mal so:
Es ist [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}=\summe_{k=1}^{n}(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}).
[/mm]
Jetzt schreib Dir mal [mm] \summe_{k=1}^{10}(\bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k+1}) [/mm] auf. Dann wird Dir ein Licht aufgehen.
Gruß v. Angela
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Ok, danke, jetzt sehe ich es auch.
Ich fürchte nur das Beispiel geht so nicht durch die Klausur.
Könnt ihr mir vllt einen Tipp geben, wie ich die Konvergenz gegen 1 auch wirklich zeigen kann?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo kernmeter,
na, der Grenzwert der Reihe bzw. der Reihenwert ist doch, wie in der Aufgabe steht
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n{\frac{1}{k(k+1)}=\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)}_{=:S_n}$
Nun schreibe dir mal allg. eine solche n-te Partialsumme auf, das ist eine schöne Teleskopsummen, in der sich fast alles weghebt.
Mit Angelas Tipp solltest du genau das herausfinden.
In der Klausur musst du's natürlich allg. aufschreiben.
Schreibe also eine solche $n-te$ Partialsumme hin, schaue was übrig bleibt und bilde den $\lim\limits_{n\to\infty}$ davon.
Dann hast du deinen Reihenwert
LG
schachuzipus
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> Ok, danke, jetzt sehe ich es auch.
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> Ich fürchte nur das Beispiel geht so nicht durch die
> Klausur.
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> Könnt ihr mir vllt einen Tipp geben, wie ich die Konvergenz
> gegen 1 auch wirklich zeigen kann?
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Hallo,
wenn dir das Herausfinden der n-ten Partialsumme mit Pünktchen, Pünktchen, Pünktchen zu heiß ist,
dann beweise eben noch [mm] \summe_{k=1}^{n}(\bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k+1})= [/mm] 1- bruch{1}{n+1} per Induktion, und bilde anschließend den Grenzwert.
Gruß v. Angela
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